กฎลอการิทึม

ลอการิทึมฐาน bของตัวเลขคือเลขยกกำลังที่เราต้องยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลข

• นิยามลอการิทึม
• กฎลอการิทึม
• ปัญหาลอการิทึม
• ลอการิทึมเชิงซ้อน
• กราฟบันทึก(x)
• ตารางลอการิทึม
• เครื่องคำนวณลอการิทึม

นิยามลอการิทึม

เมื่อ b ยกกำลัง y เท่ากับ x:

b ^y = x

จากนั้นลอการิทึมฐาน b ของ x เท่ากับ y:

log_b(x) = y

ตัวอย่างเช่น เมื่อ:

2⁴ = 16

แล้ว

log₂(16) = 4

ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันลอการิทึม

y = log_b(x)

เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

x = b^y

ดังนั้น หากเราคำนวณฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลของลอการิทึมของ x (x>0)

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

หรือถ้าเราคำนวณลอการิทึมของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลของ x

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

ลอการิทึมธรรมชาติ (ln)

ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมของฐาน e:

ln(x) = log_e(x)

เมื่อค่าคงที่ eเป็นตัวเลข:

หรือ

 

ดู: ลอการิทึมธรรมชาติ

การคำนวณลอการิทึมผกผัน

ลอการิทึมผกผัน (หรือลอการิทึมต่อต้าน) คำนวณโดยการเพิ่มฐาน b เป็นลอการิทึม y:

x = log^-1(y) = b ^y

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบพื้นฐานของ:

f (x) = log_b(x)

กฎลอการิทึม

ชื่อกฎ	กฎ
กฎผลคูณลอการิทึม	ล็อกb ( x ∙ y ) = ล็อกb ( x ) +ล็อกb ( y )
กฎผลหารลอการิทึม	บันทึกb ( x / y ) = บันทึกb ( x ) -บันทึกb ( y )
กฎลอการิทึมกำลัง	บันทึกb ( x y ) = y ∙บันทึกb ( x )
กฎการสลับฐานลอการิทึม	บันทึกb ( c ) = 1 / บันทึกc ( b )
กฎการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม	บันทึกb ( x ) = บันทึกc ( x ) / บันทึกc ( b )
อนุพันธ์ของลอการิทึม	f ( x ) = บันทึกb ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
อินทิกรัลของลอการิทึม	∫ บันทึกb ( x ) dx = x ∙ ( บันทึกb ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
ลอการิทึมของจำนวนลบ	บันทึกb ( x ) ไม่ได้กำหนดเมื่อ x ≤ 0
ลอการิทึมของ 0	บันทึกb (0) ไม่ได้กำหนด
ลอการิทึมของ 1	บันทึกb (1) = 0
ลอการิทึมของฐาน	บันทึกข ( ข ) = 1
ลอการิทึมของอนันต์	lim log b ( x ) = ∞ เมื่อx →∞

ดู: กฎลอการิทึม

 

กฎผลคูณลอการิทึม

ลอการิทึมของการคูณ x และ y คือผลบวกของลอการิทึมของ x และลอการิทึมของ y

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

ตัวอย่างเช่น:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

กฎผลหารลอการิทึม

ลอการิทึมของการหาร x และ y คือผลต่างของลอการิทึมของ x และลอการิทึมของ y

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

ตัวอย่างเช่น:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

กฎลอการิทึมกำลัง

ลอการิทึมของ x ยกกำลัง y คือ y คูณลอการิทึมของ x

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

ตัวอย่างเช่น:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

กฎการสลับฐานลอการิทึม

ลอการิทึมฐาน b ของ c คือ 1 หารด้วยลอการิทึมฐาน c ของ b

log_b(c) = 1 / log_c(b)

ตัวอย่างเช่น:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

กฎการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมฐาน b ของ x คือลอการิทึมฐาน c ของ x หารด้วยลอการิทึมฐาน c ของ b

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณล็อก₂ (8) ในเครื่องคิดเลข เราต้องเปลี่ยนฐานเป็น 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

ดู: กฎการเปลี่ยนแปลงฐานบันทึก

ลอการิทึมของจำนวนลบ

ลอการิทึมจริงฐาน b ของ x เมื่อ x<=0 ไม่ได้กำหนดเมื่อ x เป็นลบหรือเท่ากับศูนย์:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

ดู: บันทึกของจำนวนลบ

ลอการิทึมของ 0

ลอการิทึมฐาน b ของศูนย์ไม่ได้กำหนด:

log_b(0) is undefined

ลิมิตของลอการิทึมฐาน b ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์ จะเป็นลบอนันต์:

ดู: บันทึกของศูนย์

ลอการิทึมของ 1

ลอการิทึมฐาน b ของหนึ่งเป็นศูนย์:

log_b(1) = 0

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมฐานสองของหนึ่งเป็นศูนย์:

log₂(1) = 0

ดู: บันทึกของหนึ่ง

ลอการิทึมของอนันต์

ลิมิตของลอการิทึมฐาน b ของ x เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ จะเท่ากับอนันต์:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

ดู: บันทึกของอินฟินิตี้

ลอการิทึมของฐาน

ลอการิทึมฐาน b ของ b คือหนึ่ง:

log_b(b) = 1

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมฐานสองของสองเป็นหนึ่ง:

log₂(2) = 1

อนุพันธ์ลอการิทึม

เมื่อไร

f (x) = log_b(x)

จากนั้นอนุพันธ์ของ f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

ดู: อนุพันธ์ของล็อก

อินทิกรัลลอการิทึม

อินทิกรัลของลอการิทึมของ x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

ตัวอย่างเช่น:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

การประมาณลอการิทึม

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

ลอการิทึมเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z:

z = re^iθ = x + iy

ลอการิทึมเชิงซ้อนจะเป็น (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

ปัญหาลอการิทึมและคำตอบ

ปัญหา #1

ค้นหา x สำหรับ

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

สารละลาย:

ใช้กฎผลิตภัณฑ์:

log₂(x∙(x-3)) = 2

การเปลี่ยนรูปแบบลอการิทึมตามนิยามลอการิทึม:

x∙(x-3) = 2²

หรือ

x²-3x-4 = 0

การแก้สมการกำลังสอง:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

เนื่องจากลอการิทึมไม่ได้กำหนดไว้สำหรับจำนวนลบ คำตอบคือ:

x = 4

ปัญหา #2

ค้นหา x สำหรับ

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

สารละลาย:

ใช้กฎผลหาร:

log₃((x+2) / x) = 2

การเปลี่ยนรูปแบบลอการิทึมตามนิยามลอการิทึม:

(x+2)/x = 3²

หรือ

x+2 = 9x

หรือ

8x = 2

หรือ

x = 0.25

กราฟบันทึก(x)

log(x) ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าจริงที่ไม่ใช่ค่าบวกของ x:

ตารางลอการิทึม

x	เข้าสู่ระบบ10 x	บันทึก2 x	บันทึกe x
0	ไม่ได้กำหนด	ไม่ได้กำหนด	ไม่ได้กำหนด
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1,000	3	9.965784	6.907755
10,000	4	13.287712	9.210340

 

เครื่องคำนวณลอการิทึม►

 

---

ดูสิ่งนี้ด้วย

• กฎลอการิทึม
• ลอการิทึมเปลี่ยนฐาน
• ลอการิทึมของศูนย์
• ลอการิทึมของหนึ่ง
• ลอการิทึมของอนันต์
• ลอการิทึมของจำนวนลบ
• เครื่องคำนวณลอการิทึม
• กราฟลอการิทึม
• ตารางลอการิทึม
• เครื่องคำนวณลอการิทึมธรรมชาติ
• ลอการิทึมธรรมชาติ - ln x
• ค่าคงที่
• เดซิเบล (เดซิเบล)