ลอการิทึมธรรมชาติ - ln(x)

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมฐาน e ของจำนวน

• นิยามลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
• กฎและคุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
  • อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
  • อินทิกรัลของลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
• ลอการิทึมเชิงซ้อน
• กราฟของ ln(x)
• ตารางลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
• เครื่องคำนวณลอการิทึมธรรมชาติ

ความหมายของลอการิทึมธรรมชาติ

เมื่อไร

e ^y = x

แล้วฐาน e ลอการิทึมของ x คือ

ln(x) = log_e(x) = y

 

ค่าคงที่ eหรือจำนวนออยเลอร์คือ:

จ ≈ 2.71828183

Ln เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) เป็นฟังก์ชันผกผัน ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e ^x

สำหรับ x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

หรือ

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

กฎและคุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

ชื่อกฎ	กฎ	ตัวอย่าง
กฎของผลิตภัณฑ์	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
กฎความฉลาด	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
กฎแห่งอำนาจ	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
อนุพันธ์	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
อินทิกรัล	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln ของจำนวนลบ	ln( x ) ไม่ได้กำหนดเมื่อ x ≤ 0
ln ของศูนย์	ln(0) ไม่ได้กำหนด
ของหนึ่ง	ลน(1) = 0
อินฟินิตี้	lim ln( x ) = ∞ เมื่อx →∞
ตัวตนของออยเลอร์	ln(-1) = iπ

 

กฎผลคูณลอการิทึม

ลอการิทึมของการคูณ x และ y คือผลบวกของลอการิทึมของ x และลอการิทึมของ y

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

ตัวอย่างเช่น:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

กฎผลหารลอการิทึม

ลอการิทึมของการหาร x และ y คือผลต่างของลอการิทึมของ x และลอการิทึมของ y

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

ตัวอย่างเช่น:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

กฎลอการิทึมกำลัง

ลอการิทึมของ x ยกกำลัง y คือ y คูณลอการิทึมของ x

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

ตัวอย่างเช่น:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติคือฟังก์ชันกลับกัน

เมื่อไร

f (x) = ln(x)

อนุพันธ์ของ f(x) คือ:

f ' (x) = 1 / x

อินทิกรัลของลอการิทึมธรรมชาติ

อินทิกรัลของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติกำหนดโดย:

เมื่อไร

f (x) = ln(x)

อินทิกรัลของ f(x) คือ:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln ของ 0

ลอการิทึมธรรมชาติของศูนย์ไม่ได้กำหนด:

ln(0) is undefined

ลิมิตใกล้ 0 ของลอการิทึมธรรมชาติของ x เมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์ มีค่าเป็นลบอนันต์:

จำนวนของ 1

ลอการิทึมธรรมชาติของหนึ่งเป็นศูนย์:

ln(1) = 0

Ln ของอินฟินิตี้

ลิมิตของลอการิทึมธรรมชาติของอนันต์ เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์จะเท่ากับอนันต์:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

ลอการิทึมเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z:

z = re^iθ = x + iy

ลอการิทึมเชิงซ้อนจะเป็น (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

กราฟของ ln(x)

ln(x) ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าจริงที่ไม่ใช่ค่าบวกของ x:

ตารางลอการิทึมธรรมชาติ

x	ln x
0	ไม่ได้กำหนด
0 +	- ∞
0.0001	-9.210340
0.001	-6.907755
0.01	-4.605170
0.1	-2.302585
1	0
2	0.693147
จ ≈ 2.7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1,000	6.907755
10,000	9.210340

 

กฎของลอการิทึม►

 

---

ดูสิ่งนี้ด้วย

• ลอการิทึม (ล็อก)
• เครื่องคำนวณลอการิทึมธรรมชาติ
• ลอการิทึมธรรมชาติของศูนย์
• ลอการิทึมธรรมชาติของหนึ่ง
• ลอการิทึมธรรมชาติของ e
• ลอการิทึมธรรมชาติของอนันต์
• ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนลบ
• Ln ฟังก์ชันผกผัน
• กราฟ ln(x)
• ตารางลอการิทึมธรรมชาติ
• เครื่องคำนวณลอการิทึม
• ค่าคงที่