自然對數 - ln(x)
自然對數是一個數以 e 為底的對數。
自然對數的定義
什麼時候
e y = x
那麼 x 的以 e 為底的對數是
ln(x) = loge(x) = y
e 常數或歐拉數是：
e≈2.71828183 _
Ln 作為指數函數的反函數
自然對數函數 ln(x) 是指數函數 e x的反函數。
對於 x>0，
f (f -1(x)) = eln(x) = x
或者
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
自然對數規則和性質
| 規則名稱 | 規則 | 例子 |
|---|---|---|
產品規則 |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
商法則 |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
冪律 |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
導數 |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
積分 |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
負數的ln |
當x ≤ 0時，ln( x )未定義 | |
ln為零 |
ln(0)未定義 | |
 |
||
在一個 |
ln(1) = 0 | |
無窮大 |
lim ln( x ) = ∞ ,當x →∞ | |
| 歐拉恆等式 | ln(-1) = iπ |
對數乘積法則
x和y相乘的對數是x的對數與y的對數之和。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例如：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
對數商法則
x 和 y 除法的對數是 x 的對數與 y 的對數之差。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例如：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
對數冪法則
x 的對數 y 次方是 y 乘以 x 的對數。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例如：
log10(28) = 8∙ log10(2)
自然對數的導數
自然對數函數的導數是倒數函數。
什麼時候
f (x) = ln(x)
f(x) 的導數是：
f ' (x) = 1 / x
自然對數的積分
自然對數函數的積分由下式給出：
什麼時候
f (x) = ln(x)
f(x) 的積分為：
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
零時
零的自然對數是未定義的：
ln(0) is undefined
當 x 接近零時，x 的自然對數接近 0 的極限為負無窮大：
ln 的 1
一的自然對數為零：
ln(1) = 0
無窮大
無窮大的自然對數的極限，當x趨近於無窮大時等於無窮大：
lim ln(x) = ∞, when x→∞
復對數
對於復數 z：
z = reiθ = x + iy
複數對數將是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)：
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) 圖
ln(x) 沒有為 x 的非正實數定義：
自然對數表
| X | × _ |
|---|---|
| 0 | 不明確的 |
| 0 + | - ∞ |
| 0.0001 | -9.210340 |
| 0.001 | -6.907755 |
| 0.01 | -4.605170 |
| 0.1 | -2.302585 |
| 1個 | 0 |
| 2個 | 0.693147 |
| e≈2.7183 _ | 1個 |
| 3個 | 1.098612 |
| 4個 | 1.386294 |
| 5個 | 1.609438 |
| 6個 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8個 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3.401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3.912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90後 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6.551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |