對數規則
一個數的以 b 為底的對數是我們需要提高底數以獲得該數的指數。
對數定義
當 b 的 y 次方等於 x 時：
b y = x
那麼 x 的以 b 為底的對數等於 y：
logb(x) = y
例如當：
24 = 16
然後
log2(16) = 4
作為指數函數的反函數的對數
對數函數，
y = logb(x)
是指數函數的反函數，
x = by
所以如果我們計算x的對數的指數函數（x>0），
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
或者如果我們計算 x 的指數函數的對數，
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
自然對數 (ln)
自然對數是以 e 為底的對數：
ln(x) = loge(x)
當e 常數為數時：
或者
請參閱：自然對數
反對數計算
反對數（或反對數）是通過將底數 b 提高到對數 y 來計算的：
x = log-1(y) = b y
對數函數
對數函數的基本形式為：
f (x) = logb(x)
對數規則
| 規則名稱 | 規則 |
|---|---|
對數乘積法則 |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
對數商法則 |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
對數冪法則 |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
對數底轉換規則 |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
對數底數變化規律 |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
對數的導數 |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) ) |
對數積分 |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C |
負數的對數 |
當x ≤ 0時，log b ( x )未定義 |
0的對數 |
日誌b (0)未定義 |
 |
|
1的對數 |
日誌b (1) = 0 |
底數的對數 |
log b ( b ) = 1 |
無窮大的對數 |
lim log b ( x ) = ∞,當x →∞ |
請參閱：對數規則
對數乘積法則
x和y相乘的對數是x的對數與y的對數之和。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例如：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
對數商法則
x 和 y 除法的對數是 x 的對數與 y 的對數之差。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例如：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
對數冪法則
x 的對數 y 次方是 y 乘以 x 的對數。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例如：
log10(28) = 8∙ log10(2)
對數底轉換規則
c 的以 b 為底的對數是 1 除以 b 的以 c 為底的對數。
logb(c) = 1 / logc(b)
例如：
log2(8) = 1 / log8(2)
對數底數變化規律
x 的以 b 為底的對數是 x 的以 c 為底的對數除以 b 的以 c 為底的對數。
logb(x) = logc(x) / logc(b)
例如，為了在計算器中計算 log 2 (8)，我們需要將底數更改為 10：
log2(8) = log10(8) / log10(2)
參見：日誌庫更改規則
負數的對數
當 x<=0 時 x 的底 b 實對數在 x 為負或等於 0 時未定義：
logb(x) is undefined when x ≤ 0
參見：負數的對數
0的對數
零的以 b 為底的對數未定義：
logb(0) is undefined
當 x 趨近於零時，x 的以 b 為底的對數的極限為負無窮大：
參見：零的對數
1的對數
1 的以 b 為底的對數為零：
logb(1) = 0
例如，一的以二為底的對數為零：
log2(1) = 0
參見：一個人的日誌
無窮大的對數
x的以b為底的對數的極限，當x趨於無窮大時，等於無窮大：
lim logb(x) = ∞, when x→∞
參見：無窮大日誌
底數的對數
b 的以 b 為底的對數是 1：
logb(b) = 1
例如，以二為底的二的對數是一：
log2(2) = 1
對數導數
什麼時候
f (x) = logb(x)
那麼f(x)的導數：
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
參見：對數導數
對數積分
x的對數的積分：
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
例如：
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
對數近似
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
復對數
對於復數 z：
z = reiθ = x + iy
複數對數將是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)：
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
對數題及答案
問題#1
查找 x 的
log2(x) + log2(x-3) = 2
解決方案：
使用產品規則：
log2(x∙(x-3)) = 2
根據對數定義改變對數形式：
x∙(x-3) = 22
或者
x2-3x-4 = 0
求解二次方程：
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
由於對數沒有為負數定義，答案是：
x = 4
問題#2
查找 x 的
log3(x+2) - log3(x) = 2
解決方案：
使用商法則：
log3((x+2) / x) = 2
根據對數定義改變對數形式：
(x+2)/x = 32
或者
x+2 = 9x
或者
8x = 2
或者
x = 0.25
log(x) 圖
log(x) 沒有為 x 的實非正值定義：
對數表
| X | 日誌10 x | 日誌2 x | 對數_ |
|---|---|---|---|
| 0 | 不明確的 | 不明確的 | 不明確的 |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0.001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
| 0.01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1個 | 0 | 0 | 0 |
| 2個 | 0.301030 | 1個 | 0.693147 |
| 3個 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4個 | 0.602060 | 2個 | 1.386294 |
| 5個 | 0.698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6個 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8個 | 0.903090 | 3個 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1個 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90後 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2個 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3個 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4個 | 13.287712 | 9.210340 |