Logaritmregler

Basenb -logaritmen för ett tal är exponenten som vi behöver för att höja basen för att få talet .

Logaritm definition

När b höjs till y är det lika med x:

b y = x

Då är basen b-logaritmen för x lika med y:

logb(x) = y

Till exempel när:

24 = 16

Sedan

log2(16) = 4

Logaritm som invers funktion av exponentialfunktion

Den logaritmiska funktionen,

y = logb(x)

är den inversa funktionen av exponentialfunktionen,

x = by

Så om vi beräknar exponentialfunktionen för logaritmen av x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Eller om vi beräknar logaritmen för exponentialfunktionen av x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Naturlig logaritm (ln)

Naturlig logaritm är en logaritm till basen e:

ln(x) = loge(x)

När e konstant är talet:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

eller

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Se: Naturlig logaritm

Invers logaritmberäkning

Den inversa logaritmen (eller antilogaritmen) beräknas genom att höja basen b till logaritmen y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmisk funktion

Den logaritmiska funktionen har den grundläggande formen av:

f (x) = logb(x)

Logaritmregler

Regelnamn Regel
Logaritmproduktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmkvotregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmkraftsregel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmbasväxlingsregel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmbasändringsregel
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivat av logaritm
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral av logaritm
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritm av negativt tal
 log b ( x ) är odefinierad när x ≤ 0
Logaritm av 0
 log b (0) är odefinierad
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritm av 1
 log b (1) = 0
Logaritm av basen
 log b ( b ) = 1
Logaritm av oändlighet
 lim log b ( x ) = ∞, när x →∞

Se: Logaritmregler

 

Logaritmproduktregel

Logaritmen av multiplikationen av x och y är summan av logaritmen av x och logaritmen av y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Till exempel:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmkvotregel

Logaritmen för divisionen av x och y är skillnaden mellan logaritmen av x och logaritmen av y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Till exempel:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmkraftsregel

Logaritmen av x upphöjd till potensen y är y gånger logaritmen av x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Till exempel:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmbasväxlingsregel

Basen b logaritmen för c är 1 dividerad med basen c logaritmen för b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Till exempel:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritmbasändringsregel

Basen b logaritmen för x är basen c logaritmen för x dividerad med basen c logaritmen för b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Till exempel, för att beräkna log 2 (8) i kalkylatorn, måste vi ändra basen till 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Se: loggbasändringsregel

Logaritm av negativt tal

Basen b reella logaritmen för x när x<=0 är odefinierad när x är negativ eller lika med noll:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Se: logg över negativt tal

Logaritm av 0

Basen b-logaritmen för noll är odefinierad:

logb(0) is undefined

Gränsen för basen b-logaritmen för x, när x närmar sig noll, är minus oändlighet:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Se: log av noll

Logaritm av 1

Basen b-logaritmen för ett är noll:

logb(1) = 0

Till exempel är bas två-logaritmen av ett noll:

log2(1) = 0

Se: logg över en

Logaritm av oändlighet

Gränsen för basens b-logaritmen för x, när x närmar sig oändligheten, är lika med oändligheten:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Se: log of infinity

Logaritm av basen

Basen b-logaritmen för b är en:

logb(b) = 1

Till exempel är bas två-logaritmen av två en:

log2(2) = 1

Logaritmderivata

När

f (x) = logb(x)

Sedan derivatan av f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Se: logderivata

Logaritm integral

Integralen av logaritmen av x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Till exempel:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritm approximation

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Komplex logaritm

För komplext tal z:

z = reiθ = x + iy

Den komplexa logaritmen kommer att vara (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmproblem och svar

Problem #1

Hitta x för

log2(x) + log2(x-3) = 2

Lösning:

Använd produktregeln:

log2(x∙(x-3)) = 2

Ändra logaritmformen enligt logaritmdefinitionen:

x∙(x-3) = 22

Eller

x2-3x-4 = 0

Lösa andragradsekvationen:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Eftersom logaritmen inte är definierad för negativa tal är svaret:

x = 4

Problem #2

Hitta x för

log3(x+2) - log3(x) = 2

Lösning:

Använda kvotregeln:

log3((x+2) / x) = 2

Ändra logaritmformen enligt logaritmdefinitionen:

(x+2)/x = 32

Eller

x+2 = 9x

Eller

8x = 2

Eller

x = 0.25

Graf över log(x)

log(x) är inte definierad för verkliga icke-positiva värden på x:

Logaritmtabell

x logga 10 x logga 2 x log e x
0 odefinierad odefinierad odefinierad
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13,287712 9,210340

 

Logaritmräknare ►

 

Se även

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°