Naturlig logaritm - ln(x)

Naturlig logaritm är logaritmen till basen e av ett tal.

• Naturlig logaritm (ln) definition
• Naturlig logaritm (ln) regler och egenskaper
  • Derivat av naturlig logaritm (ln)
  • Integral av naturlig logaritm (ln)
• Komplex logaritm
• Graf av ln(x)
• Tabell för naturliga logaritmer (ln).
• Kalkylator för naturlig logaritm

Definition av naturlig logaritm

När

e ^y = x

Då är basen e-logaritmen för x

ln(x) = log_e(x) = y

 

e -konstanten eller Eulers tal är:

e ≈ 2,71828183

Ln som invers funktion av exponentialfunktion

Den naturliga logaritmfunktionen ln(x) är den inversa funktionen av exponentialfunktionen e ^x .

För x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Eller

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Naturliga logaritmregler och egenskaper

Regelnamn	Regel	Exempel
Produktregel	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Kvotientregel	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Makt regel	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln derivat	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integral	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln av negativt tal	ln( x ) är odefinierat när x ≤ 0
ln av noll	ln(0) är odefinierad
I av en	ln(1) = 0
I det oändliga	lim ln( x ) = ∞ , när x →∞
Eulers identitet	ln(-1) = iπ

 

Logaritmproduktregel

Logaritmen av multiplikationen av x och y är summan av logaritmen av x och logaritmen av y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Till exempel:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmkvotregel

Logaritmen för divisionen av x och y är skillnaden mellan logaritmen av x och logaritmen av y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Till exempel:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritmkraftsregel

Logaritmen av x upphöjd till potensen y är y gånger logaritmen av x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Till exempel:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivat av naturlig logaritm

Derivatan av den naturliga logaritmfunktionen är den reciproka funktionen.

När

f (x) = ln(x)

Derivatan av f(x) är:

f ' (x) = 1 / x

Integral av naturlig logaritm

Integralen av den naturliga logaritmfunktionen ges av:

När

f (x) = ln(x)

Integralen av f(x) är:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln på 0

Den naturliga logaritmen för noll är odefinierad:

ln(0) is undefined

Gränsen nära 0 för den naturliga logaritmen för x, när x närmar sig noll, är minus oändlighet:

Ln av 1

Den naturliga logaritmen för ett är noll:

ln(1) = 0

Ln av oändlighet

Gränsen för naturlig logaritm av oändlighet, när x närmar sig oändligheten är lika med oändlighet:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Komplex logaritm

För komplext tal z:

z = re^iθ = x + iy

Den komplexa logaritmen kommer att vara (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf av ln(x)

ln(x) är inte definierad för verkliga icke-positiva värden på x:

Tabell för naturliga logaritmer

x	ln x
0	odefinierad
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10 000	9,210340

 

Regler för logaritm ►

 

---

Se även

• Logaritm (log)
• Kalkylator för naturlig logaritm
• Naturlig logaritm av noll
• Naturlig logaritm av en
• Naturlig logaritm av t.ex
• Naturlig logaritm av oändlighet
• Naturlig logaritm av negativt tal
• Ln invers funktion
• ln(x) graf
• Naturlig logaritmtabell
• Logaritmräknare
• e konstant