Regras do logaritmo

O logaritmo base bde um número é o expoente que precisamos elevar a base para obter o número.

Definição de logaritmo

Quando b é elevado à potência de y é igual a x:

b y = x

Então o logaritmo base b de x é igual a y:

logb(x) = y

Por exemplo quando:

24 = 16

Então

log2(16) = 4

Logaritmo como função inversa da função exponencial

A função logarítmica,

y = logb(x)

é a função inversa da função exponencial,

x = by

Portanto, se calcularmos a função exponencial do logaritmo de x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Ou se calcularmos o logaritmo da função exponencial de x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Logaritmo natural (ln)

Logaritmo natural é um logaritmo para a base e:

ln(x) = loge(x)

Quando a constante e é o número:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

ou

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Veja: logaritmo natural

Cálculo do logaritmo inverso

O logaritmo inverso (ou anti logaritmo) é calculado elevando a base b ao logaritmo y:

x = log-1(y) = b y

função logarítmica

A função logarítmica tem a forma básica de:

f (x) = logb(x)

Regras do logaritmo

Nome da regra Regra
Regra do produto logarítmico
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
regra do quociente de logaritmo
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regra de potência do logaritmo
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regra de troca de base logarítmica
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regra de alteração da base do logaritmo
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivada do logaritmo
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral de logaritmo
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritmo de número negativo
 log b ( x ) é indefinido quando x ≤ 0
Logaritmo de 0
 log b (0) é indefinido
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmo de 1
 log b (1) = 0
logaritmo da base
 log b ( b ) = 1
logaritmo do infinito
 lim log b ( x ) = ∞, quando x →∞

Veja: Regras do logaritmo

 

Regra do produto logarítmico

O logaritmo da multiplicação de xey é a soma do logaritmo de x e logaritmo de y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Por exemplo:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

regra do quociente de logaritmo

O logaritmo da divisão de x e y é a diferença entre o logaritmo de x e o logaritmo de y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Por exemplo:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Regra de potência do logaritmo

O logaritmo de x elevado à potência de y é y vezes o logaritmo de x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Por exemplo:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Regra de troca de base logarítmica

O logaritmo base b de c é 1 dividido pelo logaritmo base c de b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Por exemplo:

log2(8) = 1 / log8(2)

Regra de alteração da base do logaritmo

O logaritmo base b de x é o logaritmo base c de x dividido pelo logaritmo base c de b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Por exemplo, para calcular log 2 (8) na calculadora, precisamos alterar a base para 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Consulte: regra de alteração da base de log

Logaritmo de número negativo

O logaritmo real base b de x quando x<=0 é indefinido quando x é negativo ou igual a zero:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Veja: logaritmo do número negativo

Logaritmo de 0

O logaritmo base b de zero é indefinido:

logb(0) is undefined

O limite do logaritmo base b de x, quando x se aproxima de zero, é menos infinito:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Veja: log de zero

Logaritmo de 1

O logaritmo base b de um é zero:

logb(1) = 0

Por exemplo, o logaritmo de base dois de um é zero:

log2(1) = 0

Veja: registro de um

logaritmo do infinito

O limite da base b logaritmo de x, quando x se aproxima do infinito, é igual ao infinito:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Veja: log do infinito

logaritmo da base

O logaritmo base b de b é um:

logb(b) = 1

Por exemplo, o logaritmo de base dois de dois é um:

log2(2) = 1

Derivada de logaritmo

Quando

f (x) = logb(x)

Então a derivada de f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Veja: derivada logarítmica

Logaritmo integral

A integral do logaritmo de x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Por exemplo:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Aproximação de logaritmo

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

logaritmo complexo

Para o número complexo z:

z = reiθ = x + iy

O logaritmo complexo será (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Problemas e respostas de logaritmos

Problema nº 1

Encontrar x para

log2(x) + log2(x-3) = 2

Solução:

Usando a regra do produto:

log2(x∙(x-3)) = 2

Mudando a forma do logaritmo de acordo com a definição do logaritmo:

x∙(x-3) = 22

Ou

x2-3x-4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Como o logaritmo não é definido para números negativos, a resposta é:

x = 4

Problema nº 2

Encontrar x para

log3(x+2) - log3(x) = 2

Solução:

Usando a regra do quociente:

log3((x+2) / x) = 2

Mudando a forma do logaritmo de acordo com a definição do logaritmo:

(x+2)/x = 32

Ou

x+2 = 9x

Ou

8x = 2

Ou

x = 0.25

Gráfico de log(x)

log(x) não é definido para valores reais não positivos de x:

tabela de logaritmos

x logar 10x _ logar 2x _ log e x
0 indefinido indefinido indefinido
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1,602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calculadora de logaritmos ►

 

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