Logaritmo Natural - ln(x)

Logaritmo natural é o logaritmo na base e de um número.

• Definição de logaritmo natural (ln)
• Regras e propriedades do logaritmo natural (ln)
  • Derivada do logaritmo natural (ln)
  • Integral do logaritmo natural (ln)
• logaritmo complexo
• Gráfico de ln(x)
• Tabela de logaritmos naturais (ln)
• Calculadora de logaritmos naturais

Definição de logaritmo natural

Quando

e ^y = x

Então a base e logaritmo de x é

ln(x) = log_e(x) = y

 

A constante e ou número de Euler é:

e ≈ 2,71828183

Ln como função inversa da função exponencial

A função logarítmica natural ln(x) é a função inversa da função exponencial e ^x .

Para x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Ou

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Regras e propriedades do logaritmo natural

Nome da regra	Regra	Exemplo
Regra do produto	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Regra do quociente	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
regra de poder	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
na derivada	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
em integral	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln de número negativo	ln( x ) é indefinido quando x ≤ 0
ln de zero	ln(0) é indefinido
em um	ln(1) = 0
no infinito	lim ln( x ) = ∞ , quando x →∞
identidade de Euler	ln(-1) = iπ

 

Regra do produto logarítmico

O logaritmo da multiplicação de xey é a soma do logaritmo de x e logaritmo de y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Por exemplo:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

regra do quociente de logaritmo

O logaritmo da divisão de x e y é a diferença entre o logaritmo de x e o logaritmo de y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Por exemplo:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Regra de potência logarítmica

O logaritmo de x elevado à potência de y é y vezes o logaritmo de x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Por exemplo:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivada do logaritmo natural

A derivada da função de logaritmo natural é a função recíproca.

Quando

f (x) = ln(x)

A derivada de f(x) é:

f ' (x) = 1 / x

Integral do logaritmo natural

A integral da função logaritmo natural é dada por:

Quando

f (x) = ln(x)

A integral de f(x) é:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln de 0

O logaritmo natural de zero é indefinido:

ln(0) is undefined

O limite perto de 0 do logaritmo natural de x, quando x se aproxima de zero, é menos infinito:

Ln de 1

O logaritmo natural de um é zero:

ln(1) = 0

Ln do infinito

O limite do logaritmo natural do infinito, quando x se aproxima do infinito é igual ao infinito:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

logaritmo complexo

Para o número complexo z:

z = re^iθ = x + iy

O logaritmo complexo será (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Gráfico de ln(x)

ln(x) não é definido para valores reais não positivos de x:

tabela de logaritmos naturais

x	ln x
0	indefinido
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Regras do logaritmo ►

 

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Veja também

• Logaritmo (log)
• Calculadora de logaritmos naturais
• Logaritmo natural de zero
• Logaritmo natural de um
• Logaritmo natural de e
• Logaritmo natural do infinito
• Logaritmo natural de número negativo
• função inversa Ln
• gráfico ln(x)
• tabela de logaritmos naturais
• Calculadora logarítmica
• e constante