Logaritmus szabályok

Egy számb bázis logaritmusa az a kitevő , amellyel meg kell emelnünk az alapot , hogy megkapjuk a számot.

Logaritmus definíció

Ha b-t y hatványára emeljük, egyenlő x-szel:

b y = x

Ekkor x alap b logaritmusa egyenlő y-val:

logb(x) = y

Például amikor:

24 = 16

Akkor

log2(16) = 4

A logaritmus mint az exponenciális függvény inverz függvénye

A logaritmikus függvény,

y = logb(x)

az exponenciális függvény inverz függvénye,

x = by

Tehát ha kiszámítjuk x logaritmusának exponenciális függvényét (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Vagy ha kiszámítjuk x exponenciális függvényének logaritmusát,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Természetes logaritmus (ln)

A természetes logaritmus az e bázis logaritmusa:

ln(x) = loge(x)

Amikor e konstans a szám:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

vagy

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Lásd: Természetes logaritmus

Inverz logaritmus számítás

Az inverz logaritmus (vagy anti-logaritmus) úgy számítható ki, hogy a b bázist y logaritmusra emeljük:

x = log-1(y) = b y

Logaritmikus függvény

A logaritmikus függvény alapformája a következő:

f (x) = logb(x)

Logaritmus szabályok

Szabály neve Szabály
Logaritmus szorzatszabály
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmus-hányados szabály
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmus hatványszabály
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmus alapkapcsoló szabály
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmus alapváltoztatási szabály
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
A logaritmus deriváltja
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
A logaritmus integrálja
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatív szám logaritmusa
 log b ( x ) definiálatlan, ha x ≤ 0
0 logaritmusa
 log b (0) nem definiált
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
1-es logaritmusa
 log b (1) = 0
Az alap logaritmusa
 log b ( b ) = 1
A végtelen logaritmusa
 lim log b ( x ) = ∞, ha x →∞

Lásd: Logaritmusszabályok

 

Logaritmus szorzatszabály

Az x és y szorzásának logaritmusa x logaritmusának és y logaritmusának az összege.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Például:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmus-hányados szabály

Az x és y felosztásának logaritmusa az x logaritmusának és az y logaritmusának különbsége.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Például:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmus hatványszabály

Az y hatványára emelt x logaritmusa x logaritmusának y-szorosa.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Például:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmus alapkapcsoló szabály

c bázis b logaritmusa 1 osztva b bázis c logaritmusával.

logb(c) = 1 / logc(b)

Például:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritmus alapváltoztatási szabály

Az x b bázis logaritmusa x bázis c logaritmusa osztva b bázis c logaritmusával.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Például a log 2 (8) kiszámításához a számológépben az alapot 10-re kell módosítanunk:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Lásd: naplóbázis változási szabály

Negatív szám logaritmusa

Az x alap b valós logaritmusa, ha x<=0, nem definiálható, ha x negatív vagy egyenlő nullával:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Lásd: negatív szám naplója

0 logaritmusa

A nulla b alap logaritmusa nem definiált:

logb(0) is undefined

Az x alap b logaritmusának határa, amikor x nullához közelít, mínusz a végtelen:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Lásd: nulla naplója

1-es logaritmusa

Az egyes alap logaritmusa nulla:

logb(1) = 0

Például az egy két bázis logaritmusa nulla:

log2(1) = 0

Lásd: log of one

A végtelen logaritmusa

Az x bázis b logaritmusának határa, amikor x megközelíti a végtelent, egyenlő a végtelennel:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Lásd: a végtelen naplója

Az alap logaritmusa

A b bázis logaritmusa egy:

logb(b) = 1

Például a kettő két alap logaritmusa egy:

log2(2) = 1

Logaritmus derivált

Amikor

f (x) = logb(x)

Ekkor f(x) deriváltja:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Lásd: log derivált

Logaritmus integrál

Az x logaritmusának integrálja:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Például:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmus közelítés

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Komplex logaritmus

z komplex szám esetén:

z = reiθ = x + iy

A komplex logaritmus a következő lesz (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmus feladatok és válaszok

1. probléma

Keresse meg az x-et

log2(x) + log2(x-3) = 2

Megoldás:

A termékszabály használata:

log2(x∙(x-3)) = 2

A logaritmus alakjának megváltoztatása a logaritmus definíció szerint:

x∙(x-3) = 22

Vagy

x2-3x-4 = 0

A másodfokú egyenlet megoldása:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Mivel a logaritmus nincs definiálva negatív számokra, a válasz a következő:

x = 4

2. probléma

Keresse meg az x-et

log3(x+2) - log3(x) = 2

Megoldás:

A hányados szabályt használva:

log3((x+2) / x) = 2

A logaritmus alakjának megváltoztatása a logaritmus definíció szerint:

(x+2)/x = 32

Vagy

x+2 = 9x

Vagy

8x = 2

Vagy

x = 0.25

log(x) grafikonja

A log(x) nincs definiálva x valós, nem pozitív értékeire:

Logaritmus táblázat

x napló 10 x napló 2 x log e x
0 határozatlan határozatlan határozatlan
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1.301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1.602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6.214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmus kalkulátor ►

 

Lásd még

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°