Természetes logaritmus - ln(x)

A természetes logaritmus egy szám e bázisának logaritmusa.

• Természetes logaritmus (ln) definíció
• Természetes logaritmus (ln) szabályok és tulajdonságok
  • A természetes logaritmus deriváltja (ln)
  • Természetes logaritmus integrálja (ln)
• Komplex logaritmus
• ln(x) grafikonja
• Természetes logaritmusok (ln) táblázat
• Természetes logaritmus számológép

A természetes logaritmus definíciója

Amikor

e ^y = x

Ekkor x e bázis logaritmusa az

ln(x) = log_e(x) = y

 

Az e konstans vagy Euler-szám:

e ≈ 2,71828183

Ln az exponenciális függvény inverz függvényeként

^{Az ln(x) természetes logaritmusfüggvény az e x} exponenciális függvény inverz függvénye.

x>0 esetén

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Vagy

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Természetes logaritmus szabályai és tulajdonságai

Szabály neve	Szabály	Példa
Termékszabály	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Hányados szabály	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Hatalomszabály	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln derivált	f ( x )=ln( x ) ⇒ f' ( x )=1/ x
Integrálban	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln negatív szám	ln( x ) definiálatlan, ha x ≤ 0
ln nulla	Az ln(0) nem definiált
Az egyikből	ln(1) = 0
A végtelenben	lim ln( x ) = ∞ , ha x →∞
Euler személyazonossága	ln(-1) = iπ

 

Logaritmus szorzatszabály

Az x és y szorzásának logaritmusa x logaritmusának és y logaritmusának az összege.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Például:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmus-hányados szabály

Az x és y felosztásának logaritmusa az x logaritmusának és az y logaritmusának különbsége.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Például:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritmus hatványszabály

Az y hatványára emelt x logaritmusa x logaritmusának y-szorosa.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Például:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Természetes logaritmus származéka

A természetes logaritmus függvény deriváltja a reciprok függvény.

Amikor

f (x) = ln(x)

Az f(x) deriváltja:

f ' (x) = 1 / x

Természetes logaritmus integrálja

A természetes logaritmus függvény integrálját a következő képlet adja meg:

Amikor

f (x) = ln(x)

Az f(x) integrálja:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln a 0-ból

A nulla természetes logaritmusa meghatározatlan:

ln(0) is undefined

Az x természetes logaritmusának 0 közeli határa, amikor x nullához közelít, mínusz a végtelen:

Ln/1

Az egyes természetes logaritmusa nulla:

ln(1) = 0

Ln a végtelenség

A végtelen természetes logaritmusának határa, amikor x megközelíti a végtelent, egyenlő a végtelennel:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Komplex logaritmus

z komplex szám esetén:

z = re^iθ = x + iy

A komplex logaritmus a következő lesz (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

ln(x) grafikonja

Az ln(x) nincs definiálva x valós nem pozitív értékeire:

Természetes logaritmus táblázat

x	ln x
0	határozatlan
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10000	9.210340

 

A logaritmus szabályai ►

 

---

Lásd még

• Logaritmus (log)
• Természetes logaritmus számológép
• A nulla természetes logaritmusa
• Egy természetes logaritmusa
• e természetes logaritmusa
• A végtelen természetes logaritmusa
• Negatív szám természetes logaritmusa
• Ln inverz függvény
• ln(x) grafikon
• Természetes logaritmus táblázat
• Logaritmus számológép
• e állandó