लघुगणक नियम

किसी संख्या का आधार b लघुगणक वह घातांक है जिसे हमें संख्या प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता होती है ।

• लघुगणक परिभाषा
• लघुगणक नियम
• लघुगणक समस्याएं
• जटिल लघुगणक
• लॉग का ग्राफ (एक्स)
• लघुगणक तालिका
• लघुगणक कैलकुलेटर

लघुगणक परिभाषा

जब b को y की घात x के बराबर किया जाता है:

b ^y = x

तब x का आधार b लघुगणक y के बराबर है:

log_b(x) = y

उदाहरण के लिए जब:

2⁴ = 16

फिर

log₂(16) = 4

घातीय फलन के व्युत्क्रम फलन के रूप में लघुगणक

लघुगणक समारोह,

y = log_b(x)

चरघातांकी फलन का व्युत्क्रम फलन है,

x = b^y

इसलिए यदि हम x (x>0) के लघुगणक के चरघातांकी फलन की गणना करें,

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

या यदि हम x के चरघातांकी फलन का लघुगणक परिकलित करें,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

प्राकृतिक लघुगणक (ln)

प्राकृतिक लघुगणक आधार e का लघुगणक है:

ln(x) = log_e(x)

जब ई स्थिरांक संख्या है:

या

 

देखें: प्राकृतिक लघुगणक

उलटा लघुगणक गणना

व्युत्क्रम लघुगणक (या विरोधी लघुगणक) की गणना आधार b को लघुगणक y तक बढ़ाकर की जाती है:

x = log^-1(y) = b ^y

लघुगणक समारोह

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का मूल रूप है:

f (x) = log_b(x)

लघुगणक नियम

नियम का नाम	नियम
लघुगणक उत्पाद नियम	लॉग बी ( एक्स ∙ वाई ) = लॉग बी ( एक्स ) + लॉग बी ( वाई )
लघुगणक भागफल नियम	लॉग बी ( एक्स / वाई ) = लॉग बी ( एक्स ) - लॉग बी ( वाई )
लघुगणक शक्ति नियम	लॉग बी ( एक्स वाई ) = वाई ∙ लॉग बी ( एक्स )
लघुगणक आधार स्विच नियम	लॉग बी ( सी ) = 1 / लॉग सी ( बी )
लघुगणक आधार परिवर्तन नियम	लॉग बी ( एक्स ) = लॉग सी ( एक्स ) / लॉग सी ( बी )
लघुगणक का व्युत्पन्न	एफ ( एक्स ) = लॉग बी ( एक्स ) ⇒ एफ ' ( एक्स ) = 1 / ( एक्स एलएन ( बी ))
लघुगणक का समाकलन	∫ लॉग बी ( एक्स ) डीएक्स = एक्स ∙ (लॉग बी ( एक्स ) - 1 / एलएन ( बी ) ) + सी
ऋणात्मक संख्या का लघुगणक	log b ( x ) अपरिभाषित है जब x ≤ 0
0 का लघुगणक	लॉग बी (0) अपरिभाषित है
1 का लघुगणक	लॉग बी (1) = 0
आधार का लघुगणक	लॉग बी ( बी ) = 1
अनंत का लघुगणक	लिम लॉग बी ( एक्स ) = ∞, जब एक्स →∞

देखें: लघुगणक नियम

 

लघुगणक उत्पाद नियम

x और y के गुणन का लघुगणक x के लघुगणक और y के लघुगणक का योग है।

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

उदाहरण के लिए:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

लघुगणक भागफल नियम

x और y के विभाजन का लघुगणक x के लघुगणक और y के लघुगणक का अंतर है।

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

उदाहरण के लिए:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

लघुगणक शक्ति नियम

x का लघुगणक y की घात तक बढ़ा हुआ x के लघुगणक का y गुना है।

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

उदाहरण के लिए:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

लघुगणक आधार स्विच नियम

C का आधार b लघुगणक, b के आधार c लघुगणक से विभाजित 1 है।

log_b(c) = 1 / log_c(b)

उदाहरण के लिए:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

लघुगणक आधार परिवर्तन नियम

x का आधार b लघुगणक x का आधार c लघुगणक b के आधार c लघुगणक से विभाजित है।

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

उदाहरण के लिए, कैलकुलेटर में लॉग ₂ (8) की गणना करने के लिए, हमें आधार को 10 में बदलने की जरूरत है:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

देखें: लॉग आधार परिवर्तन नियम

ऋणात्मक संख्या का लघुगणक

x का आधार b वास्तविक लघुगणक जब x<=0 अपरिभाषित होता है जब x ऋणात्मक या शून्य के बराबर होता है:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

देखें: ऋणात्मक संख्या का लघुगणक

0 का लघुगणक

शून्य का आधार b लघुगणक अपरिभाषित है:

log_b(0) is undefined

x के आधार b लघुगणक की सीमा, जब x शून्य की ओर अग्रसर होता है, शून्य से अनंत होता है:

देखें: शून्य का लघुगणक

1 का लघुगणक

एक का आधार b लघुगणक शून्य है:

log_b(1) = 0

उदाहरण के लिए, एक का आधार दो लघुगणक शून्य है:

log₂(1) = 0

देखें: एक का लॉग

अनंत का लघुगणक

आधार b की सीमा x का लघुगणक, जब x अनंत तक पहुंचता है, अनंत के बराबर होता है:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

देखें: अनंत का लॉग

आधार का लघुगणक

b का आधार b लघुगणक एक है:

log_b(b) = 1

उदाहरण के लिए, दो का आधार दो लघुगणक एक है:

log₂(2) = 1

लघुगणक व्युत्पन्न

कब

f (x) = log_b(x)

फिर एफ (एक्स) का व्युत्पन्न:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

देखें: लॉग व्युत्पन्न

लघुगणक अभिन्न

x के लघुगणक का समाकल:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

उदाहरण के लिए:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

लघुगणक सन्निकटन

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

जटिल लघुगणक

सम्मिश्र संख्या z के लिए:

z = re^iθ = x + iy

जटिल लघुगणक होगा (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

लघुगणक समस्याएं और उत्तर

समस्या # 1

के लिए एक्स खोजें

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

समाधान:

उत्पाद नियम का उपयोग करना:

log₂(x∙(x-3)) = 2

लघुगणक परिभाषा के अनुसार लघुगणक रूप बदलना:

x∙(x-3) = 2²

या

x²-3x-4 = 0

द्विघात समीकरण को हल करना:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

चूँकि लघुगणक को ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित नहीं किया गया है, उत्तर है:

x = 4

समस्या #2

के लिए एक्स खोजें

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

समाधान:

भागफल नियम का उपयोग करना:

log₃((x+2) / x) = 2

लघुगणक परिभाषा के अनुसार लघुगणक रूप बदलना:

(x+2)/x = 3²

या

x+2 = 9x

या

8x = 2

या

x = 0.25

लॉग का ग्राफ (एक्स)

लॉग (एक्स) एक्स के वास्तविक गैर सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित नहीं है:

लघुगणक तालिका

एक्स	लॉग 10 एक्स	लॉग 2 एक्स	लॉग ई एक्स
0	अपरिभाषित	अपरिभाषित	अपरिभाषित
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

लघुगणक कैलकुलेटर ►

 

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यह सभी देखें

• लघुगणक नियम
• आधार का लघुगणक परिवर्तन
• शून्य का लघुगणक
• एक का लघुगणक
• अनंत का लघुगणक
• ऋणात्मक संख्या का लघुगणक
• लघुगणक कैलकुलेटर
• लघुगणक ग्राफ
• लघुगणक तालिका
• प्राकृतिक लघुगणक कैलकुलेटर
• प्राकृतिक लघुगणक - ln x
• ई स्थिर
• डेसिबल (डीबी)