Logarithme naturel - ln(x)

Le logarithme naturel est le logarithme de la base e d'un nombre.

• Définition du logarithme naturel (ln)
• Règles et propriétés du logarithme naturel (ln)
  • Dérivée du logarithme naturel (ln)
  • Intégrale du logarithme naturel (ln)
• Logarithme complexe
• Graphique de ln(x)
• Tableau des logarithmes naturels (ln)
• Calculatrice de logarithme naturel

Définition du logarithme népérien

Lorsque

e ^y = x

Alors la base e logarithme de x est

ln(x) = log_e(x) = y

 

La constante e ou nombre d'Euler est :

e ≈ 2,71828183

Ln comme fonction inverse de la fonction exponentielle

La fonction logarithme naturel ln(x) est la fonction inverse de la fonction exponentielle e ^x .

Pour x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Ou alors

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Règles et propriétés du logarithme naturel

Nom de la règle	Règle	Exemple
Règle du produit	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Règle de quotient	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Règle de puissance	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
en dérivée	F ( X ) = ln( X ) ⇒ F ' ( X ) = 1 / X
en intégrale	∫ ln( X ) dx = X ∙ (ln( X ) - 1) + C
ln de nombre négatif	ln( x ) est indéfini lorsque x ≤ 0
ln de zéro	ln(0) n'est pas défini
ln d'un	ln(1) = 0
à l'infini	lim ln( x ) = ∞ , quand x →∞
L'identité d'Euler	ln(-1) = iπ

 

Règle du produit logarithmique

Le logarithme de la multiplication de x et y est la somme du logarithme de x et du logarithme de y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Par example:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Règle du quotient logarithmique

Le logarithme de la division de x et y est la différence du logarithme de x et du logarithme de y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Par example:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Règle de puissance logarithmique

Le logarithme de x élevé à la puissance y est égal à y fois le logarithme de x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Par example:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Dérivée du logarithme naturel

La dérivée de la fonction logarithme naturel est la fonction réciproque.

Lorsque

f (x) = ln(x)

La dérivée de f(x) est :

f ' (x) = 1 / x

Intégrale du logarithme népérien

L'intégrale de la fonction logarithme népérien est donnée par :

Lorsque

f (x) = ln(x)

L'intégrale de f(x) est :

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln de 0

Le logarithme népérien de zéro n'est pas défini :

ln(0) is undefined

La limite proche de 0 du logarithme népérien de x, lorsque x tend vers zéro, est moins l'infini :

Ln de 1

Le logarithme naturel de un est zéro :

ln(1) = 0

Ln de l'infini

La limite du logarithme népérien de l'infini, lorsque x tend vers l'infini est égal à l'infini :

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Logarithme complexe

Pour le nombre complexe z :

z = re^iθ = x + iy

Le logarithme complexe sera (n = ...-2,-1,0,1,2,...) :

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graphique de ln(x)

ln(x) n'est pas défini pour les valeurs réelles non positives de x :

Tableau des logarithmes naturels

X	en x
0	indéfini
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6.907755
0,01	-4.605170
0,1	-2.302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
dix	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Règles du logarithme ►

 

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Voir également

• Logarithme (log)
• Calculatrice de logarithme naturel
• Logarithme naturel de zéro
• Logarithme naturel de un
• Logarithme naturel de e
• Logarithme naturel de l'infini
• Logarithme naturel d'un nombre négatif
• Fonction inverse Ln
• graphique ln(x)
• Tableau des logarithmes naturels
• Calculatrice de logarithme
• e constante