Règles de logarithme

La base b logarithme d'un nombre est l' exposant dont nous avons besoin pour élever la base afin d'obtenir le nombre.

Définition du logarithme

Lorsque b est élevé à la puissance y est égal à x :

b y = x

Alors le logarithme de base b de x est égal à y :

logb(x) = y

Par exemple lorsque :

24 = 16

Puis

log2(16) = 4

Logarithme comme fonction inverse de la fonction exponentielle

La fonction logarithmique,

y = logb(x)

est la fonction inverse de la fonction exponentielle,

x = by

Donc si on calcule la fonction exponentielle du logarithme de x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Ou si nous calculons le logarithme de la fonction exponentielle de x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Logarithme naturel (ln)

Le logarithme népérien est un logarithme de base e :

ln(x) = loge(x)

Lorsque e constante est le nombre :

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

ou alors

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Voir : Logarithme népérien

Calcul du logarithme inverse

Le logarithme inverse (ou anti logarithme) se calcule en élevant la base b au logarithme y :

x = log-1(y) = b y

Fonction logarithmique

La fonction logarithmique a la forme de base suivante :

f (x) = logb(x)

Règles de logarithme

Nom de la règle Règle
Règle du produit logarithmique
 log b ( X ∙ y ) = log b ( X ) + log b ( y )
Règle du quotient logarithmique
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Règle de puissance logarithmique
 log b ( X y ) = y ∙ log b ( X )
Règle de commutation de base logarithmique
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Règle de changement de base logarithmique
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Dérivée du logarithme
 f ( X ) = log b ( X ) ⇒ F ' ( X ) = 1 / ( X ln( b ) )
Intégrale du logarithme
 ∫ log b ( X ) dx = X ∙ ( log b ( X ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logarithme du nombre négatif
 log b ( x ) est indéfini quand x ≤ 0
Logarithme de 0
 log b (0) n'est pas défini
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logarithme de 1
 log b (1) = 0
Logarithme de la base
 log b ( b ) = 1
Logarithme de l'infini
 lim log b ( x ) = ∞, quand x →∞

Voir : Règles de logarithme

 

Règle du produit logarithmique

Le logarithme de la multiplication de x et y est la somme du logarithme de x et du logarithme de y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Par example:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Règle du quotient logarithmique

Le logarithme de la division de x et y est la différence du logarithme de x et du logarithme de y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Par example:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Règle de puissance logarithmique

Le logarithme de x élevé à la puissance y est égal à y fois le logarithme de x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Par example:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Règle de commutation de base logarithmique

Le logarithme de base b de c est 1 divisé par le logarithme de base c de b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Par example:

log2(8) = 1 / log8(2)

Règle de changement de base logarithmique

Le logarithme en base b de x est le logarithme en base c de x divisé par le logarithme en base c de b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Par exemple, pour calculer le log 2 (8) dans la calculatrice, nous devons changer la base en 10 :

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Voir : règle de modification de la base de journalisation

Logarithme du nombre négatif

Le logarithme réel en base b de x lorsque x<=0 est indéfini lorsque x est négatif ou égal à zéro :

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Voir : journal des nombres négatifs

Logarithme de 0

Le logarithme de base b de zéro n'est pas défini :

logb(0) is undefined

La limite du logarithme de base b de x, lorsque x tend vers zéro, est moins l'infini :

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Voir : log de zéro

Logarithme de 1

Le logarithme de base b de un est zéro :

logb(1) = 0

Par exemple, le logarithme de base deux de un est égal à zéro :

log2(1) = 0

Voir: journal d'un

Logarithme de l'infini

La limite du logarithme de base b de x, lorsque x tend vers l'infini, est égale à l'infini :

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Voir : log de l'infini

Logarithme de la base

Le logarithme de base b de b est un :

logb(b) = 1

Par exemple, le logarithme de base deux de deux est un :

log2(2) = 1

Dérivée logarithmique

Lorsque

f (x) = logb(x)

Alors la dérivée de f(x) :

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Voir : dérivée logarithmique

Logarithme intégral

L'intégrale du logarithme de x :

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Par example:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Approximation logarithmique

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Logarithme complexe

Pour le nombre complexe z :

z = reiθ = x + iy

Le logarithme complexe sera (n = ...-2,-1,0,1,2,...) :

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Problèmes de logarithme et réponses

Problème #1

Trouver x pour

log2(x) + log2(x-3) = 2

Solution:

Utilisation de la règle de produit :

log2(x∙(x-3)) = 2

Modification de la forme du logarithme selon la définition du logarithme :

x∙(x-3) = 22

Ou alors

x2-3x-4 = 0

Résolution de l'équation quadratique :

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Puisque le logarithme n'est pas défini pour les nombres négatifs, la réponse est :

x = 4

Problème #2

Trouver x pour

log3(x+2) - log3(x) = 2

Solution:

En utilisant la règle du quotient :

log3((x+2) / x) = 2

Modification de la forme du logarithme selon la définition du logarithme :

(x+2)/x = 32

Ou alors

x+2 = 9x

Ou alors

8x = 2

Ou alors

x = 0.25

Graphique de log(x)

log(x) n'est pas défini pour les valeurs réelles non positives de x :

Tableau des logarithmes

X journal 10 x bûche 2 x log e x
0 indéfini indéfini indéfini
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4.605170
0,1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
dix 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calculatrice de logarithme ►

 

Voir également

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