Pour changer de base de b à c, nous pouvons utiliser la règle de changement de base du logarithme. Le logarithme de base b de x est égal au logarithme de base c de x divisé par le logarithme de base c de b :
logb(x) = logc(x) / logc(b)
log2(100) = log10(100) / log10(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386
log3(50) = log8(50) / log8(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766
Élever b avec la puissance de la base b logarithme de x donne x :
(1) x = blogb(x)
Élever c avec la puissance du logarithme de base c de b donne b :
(2) b = clogc(b)
Lorsque nous prenons (1) et remplaçons b par c log c ( b ) (2), nous obtenons :
(3) x = blogb(x) = (clogc(b))logb(x) = clogc(b)×logb(x)
En appliquant log c () de part et d'autre de (3) :
logc(x) = logc(clogc(b)×logb(x))
En appliquant la règle de puissance du logarithme :
logc(x) = [logc(b)×logb(x)] × logc(c)
Puisque log c ( c )=1
logc(x) = logc(b)×logb(x)
Ou alors
logb(x) = logc(x) / logc(b)
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