Logaritmisäännöt

Luvun peruslogaritmi b on eksponentti , joka meidän täytyy nostaa kantaa saadaksemme luvun.

Logaritmin määritelmä

Kun b nostetaan y:n potenssiin, on yhtä suuri x:

b y = x

Sitten x:n peruslogaritmi b on yhtä suuri kuin y:

logb(x) = y

Esimerkiksi kun:

24 = 16

Sitten

log2(16) = 4

Logaritmi eksponentiaalisen funktion käänteisfunktiona

logaritminen funktio,

y = logb(x)

on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio,

x = by

Joten jos laskemme x:n (x>0) logaritmin eksponentiaalisen funktion,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Tai jos laskemme x:n eksponentiaalisen funktion logaritmin,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Luonnollinen logaritmi (ln)

Luonnollinen logaritmi on logaritmi kantaan e:

ln(x) = loge(x)

Kun e vakio on luku:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

tai

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Katso: Luonnollinen logaritmi

Käänteinen logaritmilaskenta

Käänteinen logaritmi (tai antilogaritmi) lasketaan nostamalla kanta b logaritmiin y:

x = log-1(y) = b y

Logaritminen funktio

Logaritmisen funktion perusmuoto on:

f (x) = logb(x)

Logaritmin säännöt

Säännön nimi Sääntö
Logaritmin tulosääntö
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmin osamääräsääntö
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmin tehosääntö
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmin kantakytkinsääntö
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmin kantamuutossääntö
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritmin derivaatta
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Logaritmin integraali
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatiivisen luvun logaritmi
 log b ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0
Logaritmi 0
 log b (0) on määrittelemätön
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmi 1
 log b (1) = 0
Kantakohdan logaritmi
 log b ( b ) = 1
Äärettömän logaritmi
 lim log b ( x ) = ∞, kun x →∞

Katso: Logaritmisäännöt

 

Logaritmin tulosääntö

x:n ja y:n kertolasku on logaritmin x ja y:n logaritmin summa.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Esimerkiksi:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmin osamääräsääntö

X:n ja y:n jaon logaritmi on x:n logaritmin ja y:n logaritmin ero.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Esimerkiksi:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmin tehosääntö

X:n logaritmi korotettuna y:n potenssiin on y kertaa x:n logaritmi.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Esimerkiksi:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmin kantakytkinsääntö

C:n peruslogaritmi b on 1 jaettuna b:n peruslogaritmilla c.

logb(c) = 1 / logc(b)

Esimerkiksi:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritmin kantamuutossääntö

X:n peruslogaritmi b on x:n peruslogaritmi jaettuna b:n peruslogaritmilla.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Esimerkiksi, jotta voimme laskea lokin 2 (8) laskimessa, meidän on muutettava kanta arvoon 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Katso: lokin perusmuutossääntö

Negatiivisen luvun logaritmi

x:n peruslogaritmi b, kun x<=0, on määrittelemätön, kun x on negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Katso: negatiivisen luvun loki

Logaritmi 0

Nollan peruslogaritmi on määrittelemätön:

logb(0) is undefined

x:n b-kantalogaritmin raja, kun x lähestyy nollaa, on miinus ääretön:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Katso: nollalogi

Logaritmi 1

Yhden peruslogaritmi b on nolla:

logb(1) = 0

Esimerkiksi yhden peruskaksi logaritmi on nolla:

log2(1) = 0

Katso: yhden loki

Äärettömän logaritmi

x:n b-kantalogaritmin raja, kun x lähestyy ääretöntä, on yhtä suuri kuin ääretön:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Katso: äärettömän loki

Kantakohdan logaritmi

B:n peruslogaritmi on yksi:

logb(b) = 1

Esimerkiksi kahden peruslogaritmi kahdesta on yksi:

log2(2) = 1

Logaritmin derivaatta

Kun

f (x) = logb(x)

Sitten f(x:n) derivaatta:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Katso: log derivaatta

Logaritmiintegraali

X:n logaritmin integraali:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Esimerkiksi:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmin approksimaatio

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Monimutkainen logaritmi

Kompleksiluvulle z:

z = reiθ = x + iy

Kompleksi logaritmi on (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmitehtävät ja vastaukset

Ongelma #1

Etsi x

log2(x) + log2(x-3) = 2

Ratkaisu:

Tuotesääntöä käyttämällä:

log2(x∙(x-3)) = 2

Logaritmin muodon muuttaminen logaritmin määritelmän mukaan:

x∙(x-3) = 22

Tai

x2-3x-4 = 0

Neliöyhtälön ratkaiseminen:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Koska logaritmia ei ole määritelty negatiivisille luvuille, vastaus on:

x = 4

Ongelma #2

Etsi x

log3(x+2) - log3(x) = 2

Ratkaisu:

Osamääräsääntöä käyttämällä:

log3((x+2) / x) = 2

Logaritmin muodon muuttaminen logaritmin määritelmän mukaan:

(x+2)/x = 32

Tai

x+2 = 9x

Tai

8x = 2

Tai

x = 0.25

Lokigraafi(x)

log(x) ei ole määritetty x:n todellisille ei-positiivisille arvoille:

Logaritmitaulukko

x loki 10 x loki 2 x log e x
0 määrittelemätön määrittelemätön määrittelemätön
0+ _ -∞ -∞ -∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1.301030 4.321928 2,995732
30 1,477121 4.906891 3,401197
40 1.602060 5.321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4.094345
70 1.845098 6,129283 4,248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4,499810
100 2 6,643856 4.605170
200 2.301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8.228819 5,703782
400 2.602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6.214608
600 2,778151 9.228819 6,396930
700 2.845098 9.451211 6,551080
800 2.903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6.802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmilaskin ►

 

Katso myös

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°