e vakio

Vakio eli Eulerin luku on matemaattinen vakio. E-vakio on reaaliluku ja irrationaaliluku.

e = 2,718281828459...

Määritelmä e
Ominaisuudet e
Kanta ja logaritmi
Eksponentti funktio
Eulerin kaava

Määritelmä e

e-vakio määritellään rajaksi:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...$

Vaihtoehtoiset määritelmät

e-vakio määritellään rajaksi:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

Vakio e määritellään äärettömäksi sarjaksi:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Ominaisuudet e

Käänteinen e

E:n käänteisluku on raja:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

Johdannaiset e

Eksponentiaalifunktion derivaatta on eksponentiaalinen funktio:

(e^x)' = e^x

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta on käänteisfunktio:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Integraalit e

^{Eksponentiaalisen funktion e x} määrittelemätön integraali on eksponentiaalinen funktio e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Luonnollisen logaritmin funktion log _e x määrittelemätön integraali on:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Käänteisfunktion 1/x määrätty integraali 1:stä e on 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Kanta ja logaritmi

Luvun x luonnollinen logaritmi määritellään x:n peruslogaritmiksi e:

ln x = log_ex

Eksponentti funktio

Eksponentiaalinen funktio määritellään seuraavasti:

f (x) = exp(x) = e^x

Eulerin kaava

Kompleksiluvulla e ^iθ on identiteetti:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i on imaginaariyksikkö (-1:n neliöjuuri).

θ on mikä tahansa reaaliluku.