Logaritmin säännöt ja ominaisuudet

Logaritmin säännöt ja ominaisuudet:

 

Säännön nimi	Sääntö
Logaritmin tulosääntö	logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Logaritmin osamääräsääntö	logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Logaritmin tehosääntö	logb(x y) = y ∙ logb(x)
Logaritmin kantakytkinsääntö	logb(c) = 1 / logc(b)
Logaritmin kantamuutossääntö	logb(x) = logc(x) / logc(b)
Logaritmin derivaatta	f (x) = logb(x) ⇒ f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Logaritmin integraali	∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Logaritmi 0	logb(0) is undefined
Logaritmi 1	logb(1) = 0
Kantakohdan logaritmi	logb(b) = 1
Äärettömän logaritmi	lim logb(x) = ∞, when x→∞

Logaritmin tulosääntö

x:n ja y:n kertolaskun logaritmi on x:n ja y:n logaritmin summa.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Esimerkiksi:

log_b(3 ∙ 7) = log_b(3) + log_b(7)

Tulosääntöä voidaan käyttää nopeaan kertolaskuun summausoperaatiolla.

x:n tulo kerrottuna y:llä on log _b ( x ) ja log _b ( y ) summan käänteinen logaritmi:

x ∙ y = log^-1(log_b(x) + log_b(y))

Logaritmin osamääräsääntö

X:n ja y:n jaon logaritmi on x:n logaritmin ja y:n logaritmin erotus.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Esimerkiksi:

log_b(3 / 7) = log_b(3) - log_b(7)

Osamääräsääntöä voidaan käyttää nopeaan jakolaskeluun vähennyslaskuoperaatiolla.

x:n osamäärä jaettuna y:llä on log _b ( x ) ja log _b ( y ) vähennyksen käänteinen logaritmi:

x / y = log^-1(log_b(x) - log_b(y))

Logaritmin tehosääntö

x:n eksponentin logaritmi korotettuna y:n potenssiin on y kertaa x:n logaritmi.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Esimerkiksi:

log_b(2⁸) = 8 ∙ log_b(2)

Potenssisääntöä voidaan käyttää nopeaan eksponenttilaskentaan kertolaskulla.

x:n eksponentti korotettuna y:n potenssiin on yhtä suuri kuin y:n ja log _b :n kertolasku käänteinen logaritmi ( x ):

x ^y = log^-1(y ∙ log_b(x))

Logaritmin peruskytkin

C:n peruslogaritmi b on 1 jaettuna b:n peruslogaritmilla c.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Esimerkiksi:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Logaritmin kantamuutos

X:n peruslogaritmi b on x:n peruslogaritmi jaettuna b:n peruslogaritmilla.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Logaritmi 0

Nollan peruslogaritmi on määrittelemätön:

log_b(0) is undefined

Raja lähellä nollaa on miinus ääretön:

Logaritmi 1

Yhden peruslogaritmi b on nolla:

log_b(1) = 0

Esimerkiksi:

log₂(1) = 0

Kantakohdan logaritmi

B:n peruslogaritmi on yksi:

log_b(b) = 1

Esimerkiksi:

log₂(2) = 1

Logaritmin derivaatta

Kun

f (x) = log_b(x)

Sitten f(x:n) derivaatta:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Esimerkiksi:

Kun

f (x) = log₂(x)

Sitten f(x:n) derivaatta:

f ' (x) = 1 / ( x ln(2) )

Logaritmiintegraali

X:n logaritmin integraali:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Esimerkiksi:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmin approksimaatio

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

 

Nollan logaritmi ►

 

---

Katso myös

• Logaritmi laskin
• Mikä on logaritmi?
• log(x)-kaavio
• Luonnollisen logaritmin laskin
• Luonnollinen logaritmi
• e vakio
• Desibeli (dB)