Luonnollinen logaritmi - ln(x)

Luonnollinen logaritmi on logaritmi luvun kantaan e.

• Luonnollisen logaritmin (ln) määritelmä
• Luonnollisen logaritmin (ln) säännöt ja ominaisuudet
  • Luonnollisen logaritmin derivaatta (ln)
  • Luonnollisen logaritmin integraali (ln)
• Monimutkainen logaritmi
• Kaavio ln(x)
• Luonnollisten logaritmien (ln) taulukko
• Luonnollisen logaritmin laskin

Luonnollisen logaritmin määritelmä

Kun

e ^y = x

Silloin x:n kanta e logaritmi on

ln(x) = log_e(x) = y

 

E - vakio eli Eulerin luku on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponentiaalisen funktion käänteisfunktiona

Luonnollinen logaritmifunktio ln(x) on eksponentiaalisen funktion e ^x käänteisfunktio .

x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Tai

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Luonnollisen logaritmin säännöt ja ominaisuudet

Säännön nimi	Sääntö	Esimerkki
Tuotesääntö	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Osamääräsääntö	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Voiman sääntö	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
johdannainen	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integraalissa	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
Negatiivinen luku	ln( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0
Nollasta	ln(0) on määrittelemätön
Yhdestä	ln(1) = 0
äärettömyydessä	lim ln( x ) = ∞ , kun x →∞
Eulerin henkilöllisyys	ln(-1) = iπ

 

Logaritmin tulosääntö

x:n ja y:n kertolasku on logaritmin x ja y:n logaritmin summa.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Esimerkiksi:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmin osamääräsääntö

X:n ja y:n jaon logaritmi on x:n logaritmin ja y:n logaritmin ero.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Esimerkiksi:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritmin tehosääntö

X:n logaritmi korotettuna y:n potenssiin on y kertaa x:n logaritmi.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Esimerkiksi:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Luonnollisen logaritmin derivaatta

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta on käänteisfunktio.

Kun

f (x) = ln(x)

F(x):n derivaatta on:

f ' (x) = 1 / x

Luonnollisen logaritmin integraali

Luonnollisen logaritmifunktion integraali saadaan seuraavasti:

Kun

f (x) = ln(x)

F(x):n integraali on:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln 0:sta

Nollan luonnollinen logaritmi on määrittelemätön:

ln(0) is undefined

X:n luonnollisen logaritmin raja lähellä nollaa, kun x lähestyy nollaa, on miinus ääretön:

Ln/1

Yksin luonnollinen logaritmi on nolla:

ln(1) = 0

Ln äärettömyydestä

Äärettömän luonnollisen logaritmin raja, kun x lähestyy ääretöntä, on yhtä suuri kuin ääretön:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Monimutkainen logaritmi

Kompleksiluvulle z:

z = re^iθ = x + iy

Kompleksi logaritmi on (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Kaavio ln(x)

ln(x):tä ei ole määritetty x:n todellisille ei-positiivisille arvoille:

Luonnonlogaritmien taulukko

x	ln x
0	määrittelemätön
0+ _	-∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4.094345
70	4,248495
80	4.382027
90	4,499810
100	4.605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6.802395
1000	6,907755
10 000	9.210340

 

Logaritmin säännöt ►

 

---

Katso myös

• Logaritmi (log)
• Luonnollisen logaritmin laskin
• Luonnollinen nollan logaritmi
• Yhden luonnollinen logaritmi
• Luonnollinen logaritmi e
• Äärettömän luonnollinen logaritmi
• Negatiivisen luvun luonnollinen logaritmi
• Ln käänteisfunktio
• ln(x)-kaavio
• Luonnollinen logaritmitaulukko
• Logaritmi laskin
• e vakio