Правила за логаритъм

Логаритъмът при основа b на число е степента , която трябва да повдигнем при основата , за да получим числото.

Определение на логаритъм

Когато b е повдигнато на степен y е равно на x:

b y = x

Тогава основният b логаритъм от x е равен на y:

logb(x) = y

Например когато:

24 = 16

Тогава

log2(16) = 4

Логаритъм като обратна функция на експоненциална функция

Логаритмичната функция,

y = logb(x)

е обратната функция на експоненциалната функция,

x = by

Така че, ако изчислим експоненциалната функция на логаритъма от x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Или ако изчислим логаритъма на експоненциалната функция на x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Натурален логаритъм (ln)

Натурален логаритъм е логаритъм при основа e:

ln(x) = loge(x)

Когато e константа е числото:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

или

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Вижте: Натурален логаритъм

Изчисляване на обратен логаритъм

Обратният логаритъм (или антилогаритъм) се изчислява чрез повишаване на основата b до логаритъма y:

x = log-1(y) = b y

Логаритмична функция

Логаритмичната функция има основната форма на:

f (x) = logb(x)

Правила за логаритъм

Име на правилото правило
Правило за логаритъмно произведение
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Правило за коефициент на логаритъм
 log b ( x/y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Правило за степен на логаритъм
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Правило за превключване на основата на логаритъм
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Правило за промяна на основата на логаритъм
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Производна на логаритъм
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Интеграл от логаритъм
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Логаритъм на отрицателно число
 log b ( x ) е недефиниран, когато x ≤ 0
Логаритъм от 0
 log b (0) е недефиниран
\lim_{x\до 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Логаритъм от 1
 log b (1) = 0
Логаритъм на основата
 log b ( b ) = 1
Логаритъм от безкрайност
 lim log b ( x ) = ∞, когато x →∞

Вижте: Правила за логаритъм

 

Правило за логаритъмно произведение

Логаритъмът от умножението на x и y е сумата от логаритъм от x и логаритъм от y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Например:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Правило за коефициент на логаритъм

Логаритъмът от деленето на x и y е разликата между логаритъм от x и логаритъм от y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Например:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Правило за степен на логаритъм

Логаритъмът от х, повдигнат на степен у, е у, умножен по логаритъма от х.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Например:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Правило за превключване на основата на логаритъм

Логаритъмът при основа b от c е 1, делено на логаритъм при основа c от b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Например:

log2(8) = 1 / log8(2)

Правило за промяна на основата на логаритъм

Логаритъмът при основа b от x е логаритъм при основа c от x, разделен на логаритъм при основа c от b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Например, за да изчислим log 2 (8) в калкулатора, трябва да променим основата на 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Вижте: правило за промяна на лог база

Логаритъм на отрицателно число

Основният b реален логаритъм от x, когато x<=0, е недефиниран, когато x е отрицателно или равно на нула:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Вижте: дневник на отрицателно число

Логаритъм от 0

Основният b логаритъм от нула е недефиниран:

logb(0) is undefined

Границата на основния b логаритъм от x, когато x доближава нула, е минус безкрайност:

\lim_{x\до 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Вижте: log of zero

Логаритъм от 1

Логаритъмът с основа b на едно е нула:

logb(1) = 0

Например логаритъмът с основа две от едно е нула:

log2(1) = 0

Вижте: дневник на един

Логаритъм от безкрайност

Границата на основния b логаритъм от x, когато x се доближава до безкрайност, е равна на безкрайност:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Вижте: дневник на безкрайността

Логаритъм на основата

Основният b логаритъм от b е едно:

logb(b) = 1

Например логаритъмът от две по основа две е едно:

log2(2) = 1

Производна на логаритъм

Кога

f (x) = logb(x)

Тогава производната на f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Вижте: лог производна

Логаритмичен интеграл

Интеграл от логаритъм от x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Например:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Логаритъм приближение

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Комплексен логаритъм

За комплексно число z:

z = reiθ = x + iy

Комплексният логаритъм ще бъде (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Логаритмични задачи и отговори

Проблем №1

Намерете x за

log2(x) + log2(x-3) = 2

Решение:

Използване на правилото за продукта:

log2(x∙(x-3)) = 2

Промяна на формата на логаритъм според дефиницията на логаритъм:

x∙(x-3) = 22

Или

x2-3x-4 = 0

Решаване на квадратното уравнение:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Тъй като логаритъма не е дефиниран за отрицателни числа, отговорът е:

x = 4

Проблем №2

Намерете x за

log3(x+2) - log3(x) = 2

Решение:

Използване на правилото за частното:

log3((x+2) / x) = 2

Промяна на формата на логаритъм според дефиницията на логаритъм:

(x+2)/x = 32

Или

x+2 = 9x

Или

8x = 2

Или

x = 0.25

Графика на log(x)

log(x) не е дефиниран за реални неположителни стойности на x:

Таблица с логаритми

х дневник 10 x дневник 2 x log e x
0 недефиниран недефиниран недефиниран
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6.129283 4,248495
80 1,903090 6.321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9.451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13.287712 9.210340

 

Логаритмен калкулатор ►

 

Вижте също

Advertising

АЛГЕБРА
°• CmtoInchesConvert.com •°