Логаритъм за промяна на основното правило

За да променим основата от b на c, можем да използваме правилото за логаритъм за промяна на основата. Логаритъмът при основа b от x е равен на логаритъма при основа c от x, разделен на логаритъма при основа c от b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Пример #1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

Пример #2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

Доказателство

Повдигането на b със степен на основа b логаритъм от x дава x:

(1) x = b^logb^(x)

Повдигането на c със степен на основа c логаритъм от b дава b:

(2) b = c^logc^(b)

Когато вземем (1) и заменим b с c ^logc^{( b )} (2), получаваме:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

Чрез прилагане на log _c () от двете страни на (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

Чрез прилагане на правилото за степен на логаритъм :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

Тъй като log _c ( c )=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

Или

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Логаритъм от нула ►

Логаритъм за промяна на основното правило