Натурален логаритъм - ln(x)

Натурален логаритъм е логаритъм при основа e на число.

• Дефиниция на натурален логаритъм (ln).
• Правила и свойства на натурален логаритъм (ln).
  • Производна на натурален логаритъм (ln)
  • Интеграл от натурален логаритъм (ln)
• Комплексен логаритъм
• Графика на ln(x)
• Таблица с естествени логаритми (ln).
• Калкулатор за естествен логаритъм

Дефиниция на натурален логаритъм

Кога

e ^y = x

Тогава основа e логаритъм от x е

ln(x) = log_e(x) = y

 

Константата e или числото на Ойлер е:

e ≈ 2,71828183

Ln като обратна функция на експоненциална функция

Функцията натурален логаритъм ln(x) е обратната функция на експоненциалната функция e ^x .

За x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Или

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Правила и свойства на естествения логаритъм

Име на правилото	правило	Пример
Продуктово правило	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Правило за коефициента	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Силово правило	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
В производна	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
В интеграл	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
В отрицателно число	ln( x ) е недефиниран, когато x ≤ 0
В нулата	ln(0) е недефиниран
В едно	ln(1) = 0
В безкрайността	lim ln( x ) = ∞, когато x →∞
Самоличността на Ойлер	ln(-1) = iπ

 

Правило за логаритъмно произведение

Логаритъмът от умножението на x и y е сумата от логаритъм от x и логаритъм от y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Например:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Правило за коефициент на логаритъм

Логаритъмът от деленето на x и y е разликата между логаритъм от x и логаритъм от y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Например:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Правило за степен на логаритъм

Логаритъмът от х, повдигнат на степен у, е у, умножен по логаритъма от х.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Например:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Производна на натурален логаритъм

Производната на функцията натурален логаритъм е реципрочната функция.

Кога

f (x) = ln(x)

Производната на f(x) е:

f ' (x) = 1 / x

Интеграл от натурален логаритъм

Интегралът на функцията натурален логаритъм се дава от:

Кога

f (x) = ln(x)

Интегралът на f(x) е:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln от 0

Натуралният логаритъм от нула е недефиниран:

ln(0) is undefined

Границата близо до 0 на натурален логаритъм от x, когато x доближава нула, е минус безкрайност:

Ln от 1

Натуралният логаритъм от едно е нула:

ln(1) = 0

Ln на безкрайността

Границата на натурален логаритъм от безкрайност, когато x се доближава до безкрайност, е равна на безкрайност:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Комплексен логаритъм

За комплексно число z:

z = re^iθ = x + iy

Комплексният логаритъм ще бъде (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Графика на ln(x)

ln(x) не е дефиниран за реални неположителни стойности на x:

Таблица с естествени логаритми

х	в х
0	недефиниран
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10 000	9.210340

 

Правила на логаритъма ►

 

---

Вижте също

• Логаритъм (логаритъм)
• Калкулатор за естествен логаритъм
• Натурален логаритъм от нула
• Натурален логаритъм от едно
• Натурален логаритъм от e
• Натурален логаритъм от безкрайност
• Натурален логаритъм на отрицателно число
• Ln обратна функция
• ln(x) графика
• Таблица с естествен логаритъм
• Логаритмен калкулатор
• e константа