e константа

константата или числото на Ойлер е математическа константа. Константата e е реално и ирационално число.

e = 2,718281828459...

Дефиниция на e
Свойства на e
Основа е логаритъм
Експоненциална функция
Формула на Ойлер

Дефиниция на e

Константата e се определя като границата:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...$

Алтернативни определения

Константата e се определя като границата:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

Константата e се определя като безкрайна серия:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Свойства на e

Реципрочна стойност на e

Реципрочната стойност на e е границата:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

Производни на e

Производната на експоненциалната функция е експоненциалната функция:

(e^x)' = e^x

Производната на функцията натурален логаритъм е реципрочната функция:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Интеграли на e

Неопределеният интеграл на експоненциалната функция e ^x е експоненциалната функция e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Неопределеният интеграл на функцията натурален логаритъм log _e x е:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Определеният интеграл от 1 до e на реципрочната функция 1/x е 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Основа е логаритъм

Натуралният логаритъм на число x се дефинира като основен e логаритъм от x:

ln x = log_ex

Експоненциална функция

Експоненциалната функция се дефинира като:

f (x) = exp(x) = e^x

Формула на Ойлер

Комплексното число e ^iθ има идентичност:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i е въображаемата единица (корен квадратен от -1).

θ е всяко реално число.