Логаритмични правила и свойства

Правила и свойства на логаритъм:

 

Име на правилото	правило
Правило за логаритъмно произведение	logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Правило за коефициент на логаритъм	logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Правило за степен на логаритъм	logb(x y) = y ∙ logb(x)
Правило за превключване на основата на логаритъм	logb(c) = 1 / logc(b)
Правило за промяна на основата на логаритъм	logb(x) = logc(x) / logc(b)
Производна на логаритъм	f (x) = logb(x) ⇒ f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Интеграл от логаритъм	∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Логаритъм от 0	logb(0) is undefined
Логаритъм от 1	logb(1) = 0
Логаритъм на основата	logb(b) = 1
Логаритъм от безкрайност	lim logb(x) = ∞, when x→∞

Правило за логаритъмно произведение

Логаритъмът от умножение на x и y е сумата от логаритъм от x и логаритъм от y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Например:

log_b(3 ∙ 7) = log_b(3) + log_b(7)

Правилото за произведение може да се използва за бързо изчисляване на умножението с помощта на операция събиране.

Произведението на x, умножено по y, е обратният логаритъм на сумата от log _b ( x ) и log _b ( y ):

x ∙ y = log^-1(log_b(x) + log_b(y))

Правило за коефициент на логаритъм

Логаритъмът от деление на x и y е разликата между логаритъм от x и логаритъм от y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Например:

log_b(3 / 7) = log_b(3) - log_b(7)

Правилото за коефициент може да се използва за бързо изчисляване на деление с помощта на операция за изваждане.

Частното от x делено на y е обратният логаритъм от изваждането на log _b ( x ) и log _b ( y ):

x / y = log^-1(log_b(x) - log_b(y))

Правило за степен на логаритъм

Логаритъмът на експонентата от x, повдигнат на степен от y, е y по логаритъма от x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Например:

log_b(2⁸) = 8 ∙ log_b(2)

Правилото за степен може да се използва за бързо изчисляване на експонента чрез операция за умножение.

Показателят на x, повдигнат на степен на y, е равен на обратния логаритъм от умножението на y и log _b ( x ):

x ^y = log^-1(y ∙ log_b(x))

Превключвател на основата на логаритъм

Логаритъмът при основа b от c е 1, делено на логаритъм при основа c от b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Например:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Промяна на основата на логаритъм

Логаритъмът при основа b от x е логаритъм при основа c от x, разделен на логаритъм при основа c от b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Логаритъм от 0

Основният b логаритъм от нула е недефиниран:

log_b(0) is undefined

Границата близо до 0 е минус безкрайност:

Логаритъм от 1

Логаритъмът с основа b на едно е нула:

log_b(1) = 0

Например:

log₂(1) = 0

Логаритъм на основата

Основният b логаритъм от b е едно:

log_b(b) = 1

Например:

log₂(2) = 1

Производна на логаритъм

Кога

f (x) = log_b(x)

Тогава производната на f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Например:

Кога

f (x) = log₂(x)

Тогава производната на f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(2) )

Логаритмичен интеграл

Интеграл от логаритъм от x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Например:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Логаритъм приближение

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

 

Логаритъм от нула ►

 

---

Вижте също

• Логаритмен калкулатор
• Какво е логаритъм?
• log(x) графика
• Калкулатор за естествен логаритъм
• Натурален логаритъм
• e константа
• Децибел (dB)