自然对数 - ln(x)
自然对数是一个数以 e 为底的对数。
自然对数的定义
什么时候
e y = x
那么 x 的以 e 为底的对数是
ln(x) = loge(x) = y
e 常数或欧拉数是：
e≈2.71828183 _
Ln 作为指数函数的反函数
自然对数函数 ln(x) 是指数函数 e x的反函数。
对于 x>0，
f (f -1(x)) = eln(x) = x
或者
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
自然对数规则和性质
| 规则名称 | 规则 | 例子 |
|---|---|---|
产品规则 |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
商法则 |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
幂律 |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
导数 |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
积分 |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
负数的ln |
当x ≤ 0时，ln( x )未定义 | |
ln为零 |
ln(0)未定义 | |
 |
||
在一个 |
ln(1) = 0 | |
无穷大 |
lim ln( x ) = ∞ ,当x →∞ | |
| 欧拉恒等式 | ln(-1) = iπ |
对数乘积法则
x和y相乘的对数是x的对数和y的对数之和。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例如：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
对数商法则
x 和 y 除法的对数是 x 的对数与 y 的对数之差。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例如：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
对数幂法则
x 的对数 y 次方是 y 乘以 x 的对数。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例如：
log10(28) = 8∙ log10(2)
自然对数的导数
自然对数函数的导数是倒数函数。
什么时候
f (x) = ln(x)
f(x) 的导数是：
f ' (x) = 1 / x
自然对数的积分
自然对数函数的积分由下式给出：
什么时候
f (x) = ln(x)
f(x) 的积分为：
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
零时
零的自然对数是未定义的：
ln(0) is undefined
当 x 接近零时，x 的自然对数接近 0 的极限为负无穷大：
ln 的 1
一的自然对数为零：
ln(1) = 0
无穷大
无穷大的自然对数的极限，当x趋近于无穷大时等于无穷大：
lim ln(x) = ∞, when x→∞
复对数
对于复数 z：
z = reiθ = x + iy
复数对数将是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)：
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) 图
ln(x) 没有为 x 的非正实数定义：
自然对数表
| X | × _ |
|---|---|
| 0 | 不明确的 |
| 0 + | - ∞ |
| 0.0001 | -9.210340 |
| 0.001 | -6.907755 |
| 0.01 | -4.605170 |
| 0.1 | -2.302585 |
| 1个 | 0 |
| 2个 | 0.693147 |
| e≈2.7183 _ | 1个 |
| 3个 | 1.098612 |
| 4个 | 1.386294 |
| 5个 | 1.609438 |
| 6个 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8个 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3.401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3.912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90后 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6.551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |