对数规则
一个数的以b为底的对数是我们需要提高底数以获得该数的指数。
对数定义
当 b 的 y 次方等于 x 时：
b y = x
那么 x 的以 b 为底的对数等于 y：
logb(x) = y
例如当：
24 = 16
然后
log2(16) = 4
作为指数函数的反函数的对数
对数函数，
y = logb(x)
是指数函数的反函数，
x = by
所以如果我们计算x的对数的指数函数（x>0），
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
或者如果我们计算 x 的指数函数的对数，
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
自然对数 (ln)
自然对数是以 e 为底的对数：
ln(x) = loge(x)
当e 常数为数时：
或者
请参阅：自然对数
反对数计算
反对数（或反对数）是通过将底数 b 提高到对数 y 来计算的：
x = log-1(y) = b y
对数函数
对数函数的基本形式为：
f (x) = logb(x)
对数规则
| 规则名称 | 规则 |
|---|---|
对数乘积法则 |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
对数商法则 |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
对数幂法则 |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
对数底转换规则 |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
对数底数变化规律 |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
对数的导数 |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) ) |
对数积分 |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C |
负数的对数 |
当x ≤ 0时，log b ( x )未定义 |
0的对数 |
日志b (0)未定义 |
 |
|
1的对数 |
日志b (1) = 0 |
底数的对数 |
log b ( b ) = 1 |
无穷大的对数 |
lim log b ( x ) = ∞,当x →∞ |
请参阅：对数规则
对数乘积法则
x和y相乘的对数是x的对数和y的对数之和。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例如：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
对数商法则
x 和 y 除法的对数是 x 的对数与 y 的对数之差。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例如：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
对数幂法则
x 的对数 y 次方是 y 乘以 x 的对数。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例如：
log10(28) = 8∙ log10(2)
对数底转换规则
c 的以 b 为底的对数是 1 除以 b 的以 c 为底的对数。
logb(c) = 1 / logc(b)
例如：
log2(8) = 1 / log8(2)
对数底数变化规律
x 的以 b 为底的对数是 x 的以 c 为底的对数除以 b 的以 c 为底的对数。
logb(x) = logc(x) / logc(b)
例如，为了在计算器中计算 log 2 (8)，我们需要将底数更改为 10：
log2(8) = log10(8) / log10(2)
参见：日志库更改规则
负数的对数
当 x<=0 时 x 的底 b 实对数在 x 为负或等于 0 时未定义：
logb(x) is undefined when x ≤ 0
参见：负数的对数
0的对数
零的以 b 为底的对数未定义：
logb(0) is undefined
当 x 趋近于零时，x 的以 b 为底的对数的极限为负无穷大：
参见：零的对数
1的对数
1 的以 b 为底的对数为零：
logb(1) = 0
例如，一的以二为底的对数为零：
log2(1) = 0
参见：一个人的日志
无穷大的对数
x的以b为底的对数的极限，当x趋于无穷大时，等于无穷大：
lim logb(x) = ∞, when x→∞
参见：无穷大日志
底数的对数
b 的以 b 为底的对数是 1：
logb(b) = 1
例如，以二为底的二的对数是一：
log2(2) = 1
对数导数
什么时候
f (x) = logb(x)
那么f(x)的导数：
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
参见：对数导数
对数积分
x的对数的积分：
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
例如：
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
对数近似
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
复对数
对于复数 z：
z = reiθ = x + iy
复数对数将是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)：
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
对数题及答案
问题 #1
查找 x 的
log2(x) + log2(x-3) = 2
解决方案：
使用产品规则：
log2(x∙(x-3)) = 2
根据对数定义改变对数形式：
x∙(x-3) = 22
或者
x2-3x-4 = 0
求解二次方程：
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
由于对数没有为负数定义，答案是：
x = 4
问题#2
查找 x 的
log3(x+2) - log3(x) = 2
解决方案：
使用商法则：
log3((x+2) / x) = 2
根据对数定义改变对数形式：
(x+2)/x = 32
或者
x+2 = 9x
或者
8x = 2
或者
x = 0.25
log(x) 图
log(x) 没有为 x 的实非正值定义：
对数表
| X | 日志10 x | 日志2 x | 对数_ |
|---|---|---|---|
| 0 | 不明确的 | 不明确的 | 不明确的 |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0.001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
| 0.01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1个 | 0 | 0 | 0 |
| 2个 | 0.301030 | 1个 | 0.693147 |
| 3个 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4个 | 0.602060 | 2个 | 1.386294 |
| 5个 | 0.698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6个 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8个 | 0.903090 | 3个 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1个 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90后 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2个 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3个 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4个 | 13.287712 | 9.210340 |