Правила логарифмування

Логарифмчисла за основою b — це експонента , на яку нам потрібно збільшити основу , щоб отримати число.

• Означення логарифма
• Правила логарифмування
• Задачі на логарифм
• Комплексний логарифм
• Графік log(x)
• Таблиця логарифмів
• Калькулятор логарифмів

Означення логарифма

Коли b підноситься до степеня y, дорівнює x:

b ^y = x

Тоді логарифм x за основою b дорівнює y:

log_b(x) = y

Наприклад, коли:

2⁴ = 16

Потім

log₂(16) = 4

Логарифм як функція, обернена експоненціальній функції

Логарифмічна функція,

y = log_b(x)

функція, обернена експоненціальній функції,

x = b^y

Отже, якщо ми обчислимо експоненціальну функцію від логарифма x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Або якщо ми обчислимо логарифм експоненціальної функції x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Натуральний логарифм (ln)

Натуральний логарифм – це логарифм за основою e:

ln(x) = log_e(x)

Коли e константа є числом:

або

 

Див.: Натуральний логарифм

Розрахунок зворотного логарифма

Обернений логарифм (або антилогарифм) обчислюється піднесенням основи b до логарифму y:

x = log^-1(y) = b ^y

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція має основну форму:

f (x) = log_b(x)

Правила логарифмування

Назва правила	правило
Правило добутку логарифмів	log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Правило частки логарифма	log b ( x/y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Правило степеня логарифма	log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Правило перемикання основи логарифма	log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Правило зміни основи логарифма	log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Похідна логарифма	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Інтеграл логарифма	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Логарифм від'ємного числа	log b ( x ) не визначено, коли x ≤ 0
Логарифм 0	log b (0) не визначено
Логарифм 1	log b (1) = 0
Логарифм основи	log b ( b ) = 1
Логарифм нескінченності	lim log b ( x ) = ∞, коли x →∞

Див.: Правила логарифмування

 

Правило добутку логарифмів

Логарифм множення x і y є сумою логарифма x і логарифма y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Наприклад:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Правило частки логарифма

Логарифм від ділення x і y є різницею логарифма x і логарифма y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Наприклад:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Правило степеня логарифма

Логарифм x у степені y дорівнює y, помноженому на логарифм x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Наприклад:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Правило перемикання основи логарифма

Логарифм c за основою b дорівнює 1, поділеному на логарифм c за основою b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Наприклад:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Правило зміни основи логарифма

Логарифм від x за основою b дорівнює логарифму від x за основою c, поділеному на логарифм від b за основою c.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Наприклад, щоб обчислити log ₂ (8) у калькуляторі, нам потрібно змінити основу на 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

Дивіться: правило зміни бази журналу

Логарифм від'ємного числа

Дійсний логарифм x за основою b, коли x<=0, не визначений, коли x від’ємне або дорівнює нулю:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

Див.: журнал від’ємного числа

Логарифм 0

Логарифм нуля за основою b не визначений:

log_b(0) is undefined

Межа логарифма за основою b від x, коли x наближається до нуля, дорівнює мінус нескінченності:

Дивіться: журнал нуля

Логарифм 1

Логарифм одиниці за основою b дорівнює нулю:

log_b(1) = 0

Наприклад, два логарифми одиниці дорівнюють нулю:

log₂(1) = 0

Див.: журнал одного

Логарифм нескінченності

Межа логарифма за основою b від x, коли x наближається до нескінченності, дорівнює нескінченності:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Див.: журнал нескінченності

Логарифм основи

Логарифм b за основою b дорівнює одиниці:

log_b(b) = 1

Наприклад, логарифм двох за основою два дорівнює одиниці:

log₂(2) = 1

Логарифм похідна

Коли

f (x) = log_b(x)

Тоді похідна f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Див.: лог похідна

Логарифмічний інтеграл

Інтеграл від логарифма x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Наприклад:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Логарифмічна апроксимація

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

Комплексний логарифм

Для комплексного числа z:

z = re^iθ = x + iy

Комплексний логарифм буде (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Задачі на логарифми та відповіді

Проблема №1

Знайдіть x для

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

рішення:

Використовуючи правило продукту:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Зміна форми логарифма відповідно до визначення логарифма:

x∙(x-3) = 2²

Або

x²-3x-4 = 0

Розв'язування квадратного рівняння:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Оскільки логарифм не визначений для від’ємних чисел, відповідь така:

x = 4

Проблема №2

Знайдіть x для

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

рішення:

Використовуючи правило частки:

log₃((x+2) / x) = 2

Зміна форми логарифма відповідно до визначення логарифма:

(x+2)/x = 3²

Або

x+2 = 9x

Або

8x = 2

Або

x = 0.25

Графік log(x)

log(x) не визначено для дійсних не додатних значень x:

Таблиця логарифмів

x	журнал 10 х	колода 2 х	log e x
0	невизначений	невизначений	невизначений
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0,0001	-4	-13,287712	-9,210340
0,001	-3	-9,965784	-6,907755
0,01	-2	-6,643856	-4,605170
0,1	-1	-3,321928	-2,302585
1	0	0	0
2	0,301030	1	0,693147
3	0,477121	1,584963	1,098612
4	0,602060	2	1,386294
5	0,698970	2,321928	1,609438
6	0,778151	2,584963	1,791759
7	0,845098	2,807355	1,945910
8	0,903090	3	2,079442
9	0,954243	3,169925	2,197225
10	1	3,321928	2,302585
20	1,301030	4,321928	2,995732
30	1,477121	4,906891	3,401197
40	1,602060	5,321928	3,688879
50	1,698970	5,643856	3,912023
60	1,778151	5,906991	4,094345
70	1,845098	6,129283	4,248495
80	1,903090	6,321928	4,382027
90	1,954243	6,491853	4,499810
100	2	6,643856	4,605170
200	2,301030	7,643856	5,298317
300	2,477121	8,228819	5,703782
400	2,602060	8,643856	5,991465
500	2,698970	8,965784	6,214608
600	2,778151	9,228819	6,396930
700	2,845098	9,451211	6,551080
800	2,903090	9,643856	6,684612
900	2,954243	9,813781	6,802395
1000	3	9,965784	6,907755
10000	4	13,287712	9,210340

 

Логарифмічний калькулятор ►

 

---

Дивись також

• Правила логарифмування
• Логарифм зміни основи
• Логарифм нуля
• Логарифм одиниці
• Логарифм нескінченності
• Логарифм від'ємного числа
• Калькулятор логарифмів
• Логарифмічний графік
• Таблиця логарифмів
• Калькулятор натурального логарифма
• Натуральний логарифм - ln x
• e постійна
• Децибел (дБ)