Натуральний логарифм - ln(x)

Натуральний логарифм — це логарифм числа за основою e.

• Визначення натурального логарифма (ln).
• Правила та властивості натурального логарифма (ln).
  • Похідна натурального логарифма (ln)
  • Інтеграл натурального логарифма (ln)
• Комплексний логарифм
• Графік ln(x)
• Таблиця натуральних логарифмів (ln).
• Калькулятор натурального логарифма

Означення натурального логарифма

Коли

e ^y = x

Тоді є логарифм x за основою e

ln(x) = log_e(x) = y

 

Константа e абочисло Ейлера:

e ≈ 2,71828183

Ln як обернена функція експоненціальної функції

Функція натурального логарифма ln(x) є оберненою функцією експоненціальної функції e ^x .

Для x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Або

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Правила і властивості натурального логарифма

Назва правила	правило	приклад
Правило продукту	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Правило частки	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Правило сили	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
У похідній	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Інтегральний	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln від'ємного числа	ln( x ) не визначено, коли x ≤ 0
З нуля	ln(0) не визначено
В одному	ln(1) = 0
У нескінченності	lim ln( x ) = ∞, коли x →∞
Тотожність Ейлера	ln(-1) = iπ

 

Правило добутку логарифмів

Логарифм множення x і y є сумою логарифма x і логарифма y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Наприклад:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Правило частки логарифма

Логарифм від ділення x і y є різницею логарифма x і логарифма y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Наприклад:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Правило степеня логарифма

Логарифм x у степені y дорівнює y, помноженому на логарифм x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Наприклад:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Похідна натурального логарифма

Похідна функції натурального логарифма є зворотною функцією.

Коли

f (x) = ln(x)

Похідна f(x) є:

f ' (x) = 1 / x

Інтеграл натурального логарифма

Інтеграл функції натурального логарифма визначається як:

Коли

f (x) = ln(x)

Інтеграл від f(x) дорівнює:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln 0

Натуральний логарифм нуля не визначений:

ln(0) is undefined

Межа поблизу нуля натурального логарифма x, коли x наближається до нуля, дорівнює мінус нескінченності:

Ln з 1

Натуральний логарифм одиниці дорівнює нулю:

ln(1) = 0

Ln нескінченності

Межа натурального логарифма нескінченності, коли x наближається до нескінченності, дорівнює нескінченності:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Комплексний логарифм

Для комплексного числа z:

z = re^iθ = x + iy

Комплексний логарифм буде (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Графік ln(x)

ln(x) не визначено для дійсних не додатних значень x:

Таблиця натуральних логарифмів

x	ln x
0	невизначений
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10000	9,210340

 

Правила логарифмування ►

 

---

Дивись також

• Логарифм (log)
• Калькулятор натурального логарифма
• Натуральний логарифм нуля
• Натуральний логарифм одиниці
• Натуральний логарифм e
• Натуральний логарифм нескінченності
• Натуральний логарифм від'ємного числа
• Ln обернена функція
• ln(x) графік
• Таблиця натуральних логарифмів
• Калькулятор логарифмів
• e постійна