e постійна

e константа або число Ейлера є математичною константою.Константа e є дійсним і ірраціональним числом.

e = 2,718281828459...

Визначення e
Властивості e
Основа e логарифм
Експоненціальна функція
Формула Ейлера

Визначення e

Константа e визначається як межа:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...$

Альтернативні визначення

Константа e визначається як межа:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

Константа e визначається як нескінченний ряд:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Властивості e

Обернена e

Величина, зворотна e, є межею:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

Похідні від e

Похідною показникової функції є показникова функція:

(e^x)' = e^x

Похідною функції натурального логарифма є зворотна функція:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Інтеграли від e

Невизначеним інтегралом показникової функції e ^x є показникова функція e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Невизначений інтеграл функції натурального логарифма log _e x дорівнює:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Визначений інтеграл від 1 до e зворотної функції 1/x дорівнює 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Основа e логарифм

Натуральний логарифм числа x визначається як логарифм x за основою e:

ln x = log_ex

Експоненціальна функція

Експоненціальна функція визначається як:

f (x) = exp(x) = e^x

Формула Ейлера

Комплексне число e ^iθ має тотожність:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i — уявна одиниця (корінь квадратний з -1).

θ будь-яке дійсне число.