Логаритхм Рулес

Основниб логаритам броја је експонент који треба да подигнемо базу да бисмо добили број .

Дефиниција логаритма

Када се б подигне на степен и једнако је к:

b y = x

Тада је логаритам основе б од к једнак и:

logb(x) = y

На пример када:

24 = 16

Онда

log2(16) = 4

Логаритам као инверзна функција експоненцијалне функције

Логаритамска функција,

y = logb(x)

је инверзна функција експоненцијалне функције,

x = by

Дакле, ако израчунамо експоненцијалну функцију логаритма од к (к>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Или ако израчунамо логаритам експоненцијалне функције к,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Природни логаритам (лн)

Природни логаритам је логаритам на основу е:

ln(x) = loge(x)

Када је е константа број:

е=\лим_{к\ригхтарров \инфти}\лево (1+\фрац{1}{к} \ригхт)^к = 2,718281828459...

или

е=\лим_{к\десно стрелица 0 }\лево (1+ \десно к)^\фрац{1}{к}

 

Видети: Природни логаритам

Рачунање обрнутог логаритма

Инверзни логаритам (или антилогаритам) се израчунава подизањем основе б на логаритам и:

x = log-1(y) = b y

Логаритамска функција

Логаритамска функција има основни облик:

f (x) = logb(x)

Правила логаритма

Име правила Правило
Правило логаритамског производа
 лог б ( к ∙ и ) = лог б ( к ) + лог б ( и )
Правило количника логаритма
 лог б ( к / и ) = лог б ( к ) - лог б ( и )
Правило степена логаритма
 лог б ( к и ) = и ∙ лог б ( к )
Правило пребацивања основе логаритма
 лог б ( ц ) = 1 / лог ц ( б )
Правило промене базе логаритма
 лог б ( к ) = лог ц ( к ) / лог ц ( б )
Дериват логаритма
 ф ( к ) = лог б ( к ) ⇒ ф ' ( к ) = 1 / ( к лн ( б ) )
Интеграл логаритма
 ∫ лог б ( к ) дк = к ∙ ( лог б ( к ) - 1 / лн ( б ) ) + Ц
Логаритам негативног броја
 лог б ( к ) је недефинисан када је к ≤ 0
Логаритам од 0
 лог б (0) је недефинисан
\лим_{к\до 0^+}\тектуп{лог}_б(к)=-\инфти
Логаритам од 1
 лог б (1) = 0
Логаритам основе
 лог б ( б ) = 1
Логаритам бесконачности
 лим лог б ( к ) = ∞, када је к →∞

Види: Правила логаритма

 

Правило логаритамског производа

Логаритам множења к и и је збир логаритма од к и логаритма од и.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

На пример:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Правило количника логаритма

Логаритам дељења к и и је разлика логаритма к и логаритма од и.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

На пример:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Правило степена логаритма

Логаритам од к подигнут на степен од и је и пута логаритам од к.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

На пример:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Правило пребацивања основе логаритма

Основа б логаритма од ц је 1 подељена са логаритмом основе ц од б.

logb(c) = 1 / logc(b)

На пример:

log2(8) = 1 / log8(2)

Правило промене базе логаритма

Основа б логаритма од к је логаритам основе ц од к подељен логаритмом основе ц од б.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

На пример, да бисмо израчунали лог 2 (8) у калкулатору, морамо да променимо базу на 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Погледајте: правило промене базе дневника

Логаритам негативног броја

Реални логаритам основе б од к када је к<=0 је недефинисан када је к негативно или једнако нули:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Види: дневник негативног броја

Логаритам од 0

Основни б логаритам нуле је недефинисан:

logb(0) is undefined

Граница логаритма базе б од к, када се к приближи нули, је минус бесконачност:

\лим_{к\до 0^+}\тектуп{лог}_б(к)=-\инфти

Види: дневник нуле

Логаритам од 1

Основни б логаритам од један је нула:

logb(1) = 0

На пример, логаритам основа два од један је нула:

log2(1) = 0

Види: дневник једног

Логаритам бесконачности

Граница логаритма базе б од к, када се к приближи бесконачности, једнака је бесконачности:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Види: дневник бесконачности

Логаритам основе

Основни б логаритам од б је један:

logb(b) = 1

На пример, логаритам два основа два је један:

log2(2) = 1

Извод логаритма

Када

f (x) = logb(x)

Тада је дериват ф(к):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Видети: лог дериват

Логаритамски интеграл

Интеграл логаритма од к:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

На пример:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Логаритамска апроксимација

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Комплексни логаритам

За комплексни број з:

z = reiθ = x + iy

Комплексни логаритам ће бити (н = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Логаритамски задаци и одговори

Проблем #1

Пронађите к за

log2(x) + log2(x-3) = 2

Решење:

Користећи правило производа:

log2(x∙(x-3)) = 2

Промена облика логаритма према дефиницији логаритма:

x∙(x-3) = 22

Ор

x2-3x-4 = 0

Решавање квадратне једначине:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Пошто логаритам није дефинисан за негативне бројеве, одговор је:

x = 4

Проблем #2

Пронађите к за

log3(x+2) - log3(x) = 2

Решење:

Користећи правило количника:

log3((x+2) / x) = 2

Промена облика логаритма према дефиницији логаритма:

(x+2)/x = 32

Ор

x+2 = 9x

Ор

8x = 2

Ор

x = 0.25

Графикон лог(к)

лог(к) није дефинисан за реалне непозитивне вредности к:

Табела логаритама

Икс лог 10 к лог 2 к лог е к
0 недефинисан недефинисан недефинисан
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0.01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Логаритамски калкулатор ►

 

Такође видети

Advertising

АЛГЕБРА
°• ЦмтоИнцхесЦонверт.цом •°