Природни логаритам - лн(к)

Природни логаритам је логаритам на основу е броја.

• Дефиниција природног логаритма (лн).
• Правила и својства природног логаритма (лн).
  • Дериват природног логаритма (лн)
  • Интеграл природног логаритма (лн)
• Комплексни логаритам
• Графикон лн(к)
• Табела природних логаритама (лн).
• Калкулатор природног логаритма

Дефиниција природног логаритма

Када

e ^y = x

Тада је база е логаритам од к

ln(x) = log_e(x) = y

 

Е константа или Ојлеров број је:

е ≈ 2,71828183

Лн као инверзна функција експоненцијалне функције

Функција природног логаритма лн(к) је инверзна функција експоненцијалне функције е ^к .

За к>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Ор

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Правила и својства природног логаритма

Име правила	Правило	Пример
Правило производа	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Правило количника	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Правило моћи	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
У деривату	ф ( к ) = лн ( к ) ⇒ ф ' ( к ) = 1 / к
У интегралу	∫ лн( к ) дк = к ∙ (лн( к ) - 1) + Ц
лн негативног броја	лн( к ) је недефинисано када је к ≤ 0
лн од нуле	лн(0) је недефинисано
У једном	лн(1) = 0
У бесконачности	лим лн( к ) = ∞ , када је к →∞
Ојлеров идентитет	лн(-1) = иπ

 

Правило логаритамског производа

Логаритам множења к и и је збир логаритма од к и логаритма од и.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

На пример:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Правило количника логаритма

Логаритам дељења к и и је разлика логаритма к и логаритма од и.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

На пример:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Правило степена логаритма

Логаритам од к подигнут на степен од и је и пута логаритам од к.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

На пример:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Дериват природног логаритма

Извод функције природног логаритма је реципрочна функција.

Када

f (x) = ln(x)

Дериват ф(к) је:

f ' (x) = 1 / x

Интеграл природног логаритма

Интеграл функције природног логаритма је дат са:

Када

f (x) = ln(x)

Интеграл ф(к) је:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Лн од 0

Природни логаритам нуле је недефинисан:

ln(0) is undefined

Граница близу 0 природног логаритма од к, када се к приближи нули, је минус бесконачност:

Лн од 1

Природни логаритам од један је нула:

ln(1) = 0

Лн бесконачности

Граница природног логаритма бесконачности, када се к приближава бесконачности, једнака је бесконачности:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Комплексни логаритам

За комплексни број з:

z = re^iθ = x + iy

Комплексни логаритам ће бити (н = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Графикон лн(к)

лн(к) није дефинисан за реалне непозитивне вредности к:

Табела природних логаритама

Икс	лн к
0	недефинисан
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0.01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0,693147
е ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Правила логаритма ►

 

---

Такође видети

• Логаритам (дневник)
• Калкулатор природног логаритма
• Природни логаритам од нуле
• Природни логаритам од један
• Природни логаритам од е
• Природни логаритам бесконачности
• Природни логаритам негативног броја
• Лн инверзна функција
• лн(к) граф
• Табела природног логаритма
• Логаритамски калкулатор
• е константа