Logaritemska pravila

Osnovnib logaritem števila je eksponent , ki ga moramo povečati , da dobimo število.

Definicija logaritma

Ko je b dvignjen na potenco y, je enako x:

b y = x

Potem je osnovni b logaritem od x enak y:

logb(x) = y

Na primer, ko:

24 = 16

Potem

log2(16) = 4

Logaritem kot obratna funkcija eksponentne funkcije

logaritemska funkcija,

y = logb(x)

je inverzna funkcija eksponentne funkcije,

x = by

Če torej izračunamo eksponentno funkcijo logaritma x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Ali če izračunamo logaritem eksponentne funkcije x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Naravni logaritem (ln)

Naravni logaritem je logaritem na osnovo e:

ln(x) = loge(x)

Ko je e konstanta število:

e=\lim_{x\desna puščica \infty }\levo ( 1+\frac{1}{x} \desno )^x = 2,718281828459...

oz

e=\lim_{x\desna puščica 0}\levo ( 1+ \desno x)^\frac{1}{x}

 

Glej: Naravni logaritem

Izračun obratnega logaritma

Inverzni logaritem (ali antilogaritem) se izračuna tako, da se osnova b dvigne na logaritem y:

x = log-1(y) = b y

Logaritemska funkcija

Logaritemska funkcija ima osnovno obliko:

f (x) = logb(x)

Logaritemska pravila

Ime pravila Pravilo
Pravilo logaritemskega produkta
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravilo logaritemskega količnika
 log b ( x/y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Pravilo logaritemske moči
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Pravilo zamenjave osnove logaritma
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravilo spremembe osnove logaritma
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Izpeljava logaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Integral logaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritem negativnega števila
 log b ( x ) je nedefiniran, ko je x ≤ 0
Logaritem 0
 log b (0) je nedefiniran
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritem 1
 log b (1) = 0
Logaritem osnove
 log b ( b ) = 1
Logaritem neskončnosti
 lim log b ( x ) = ∞, ko je x →∞

Glej: Logaritemska pravila

 

Pravilo logaritemskega produkta

Logaritem množenja x in y je vsota logaritma x in logaritma y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Na primer:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Pravilo logaritemskega količnika

Logaritem deljenja x in y je razlika logaritma x in logaritma y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Na primer:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Pravilo logaritemske moči

Logaritem od x, dvignjen na potenco od y, je y krat logaritem od x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Na primer:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Pravilo zamenjave osnove logaritma

Osnovni b logaritem od c je 1 deljeno z osnovnim c logaritmom od b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Na primer:

log2(8) = 1 / log8(2)

Pravilo spremembe osnove logaritma

Logaritem osnove b od x je logaritem osnove c od x, deljen z logaritmom osnove c od b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Na primer, da bi izračunali log 2 (8) v kalkulatorju, moramo spremeniti osnovo na 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Glejte: pravilo za spremembo osnove dnevnika

Logaritem negativnega števila

Realni logaritem z osnovo b od x, ko je x<=0, je nedefiniran, ko je x negativen ali enak nič:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Glej: dnevnik negativnega števila

Logaritem 0

Osnovni b logaritem ničle je nedefiniran:

logb(0) is undefined

Meja osnovnega b logaritma od x, ko se x približa ničli, je minus neskončnost:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Glej: dnevnik nič

Logaritem 1

Osnovni b logaritem ena je nič:

logb(1) = 0

Na primer, osnovni dva logaritema ena je nič:

log2(1) = 0

Glej: dnevnik enega

Logaritem neskončnosti

Meja osnovnega b logaritma od x, ko se x približuje neskončnosti, je enaka neskončnosti:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Glej: dnevnik neskončnosti

Logaritem osnove

Osnovni b logaritem b je ena:

logb(b) = 1

Na primer, osnovni dva logaritema dveh je ena:

log2(2) = 1

Logaritemska izpeljanka

Kdaj

f (x) = logb(x)

Potem je odvod f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Glej: log derivat

Logaritemski integral

Integral logaritma x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Na primer:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritemski približek

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Kompleksni logaritem

Za kompleksno število z:

z = reiθ = x + iy

Kompleksni logaritem bo (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritemske težave in odgovori

Problem #1

Poišči x za

log2(x) + log2(x-3) = 2

rešitev:

Uporaba pravila izdelka:

log2(x∙(x-3)) = 2

Spreminjanje oblike logaritma glede na definicijo logaritma:

x∙(x-3) = 22

oz

x2-3x-4 = 0

Reševanje kvadratne enačbe:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Ker logaritem ni definiran za negativna števila, je odgovor:

x = 4

Problem #2

Poišči x za

log3(x+2) - log3(x) = 2

rešitev:

Uporaba pravila kvocienta:

log3((x+2) / x) = 2

Spreminjanje oblike logaritma glede na definicijo logaritma:

(x+2)/x = 32

oz

x+2 = 9x

oz

8x = 2

oz

x = 0.25

Graf log(x)

log(x) ni definiran za realne nepozitivne vrednosti x:

Tabela logaritmov

x dnevnik 10 x hlod 2 x log e x
0 nedoločeno nedoločeno nedoločeno
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6.129283 4,248495
80 1,903090 6.321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritemski kalkulator ►

 

Poglej tudi

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°