Naravni logaritem - ln(x)

Naravni logaritem je logaritem števila na osnovi e.

• Definicija naravnega logaritma (ln).
• Pravila in lastnosti naravnega logaritma (ln).
  • Odvod naravnega logaritma (ln)
  • Integral naravnega logaritma (ln)
• Kompleksni logaritem
• Graf za ln(x)
• Tabela naravnih logaritmov (ln).
• Kalkulator naravnega logaritma

Definicija naravnega logaritma

Kdaj

e ^y = x

Potem je osnova e logaritem x

ln(x) = log_e(x) = y

 

Konstanta e ali Eulerjevo število je:

e ≈ 2,71828183

Ln kot inverzna funkcija eksponentne funkcije

Funkcija naravnega logaritma ln(x) je inverzna funkcija eksponentne funkcije e ^x .

Za x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

oz

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Pravila in lastnosti naravnega logaritma

Ime pravila	Pravilo	Primer
Pravilo izdelka	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Pravilo kvocienta	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Pravilo moči	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
V izpeljanki	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
V integralu	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
V negativnem številu	ln( x ) je nedefiniran, ko je x ≤ 0
V ničli	ln(0) je nedefiniran
V enem	ln(1) = 0
V neskončnosti	lim ln( x ) = ∞, ko je x →∞
Eulerjeva identiteta	ln(-1) = iπ

 

Pravilo logaritemskega produkta

Logaritem množenja x in y je vsota logaritma x in logaritma y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Na primer:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Pravilo logaritemskega količnika

Logaritem deljenja x in y je razlika logaritma x in logaritma y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Na primer:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Pravilo logaritemske moči

Logaritem od x, dvignjen na potenco od y, je y krat logaritem od x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Na primer:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Odvod naravnega logaritma

Odvod funkcije naravnega logaritma je recipročna funkcija.

Kdaj

f (x) = ln(x)

Odvod f(x) je:

f ' (x) = 1 / x

Integral naravnega logaritma

Integral funkcije naravnega logaritma je podan z:

Kdaj

f (x) = ln(x)

Integral f(x) je:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln od 0

Naravni logaritem ničle je nedefiniran:

ln(0) is undefined

Meja blizu 0 naravnega logaritma x, ko se x približa ničli, je minus neskončnost:

Ln od 1

Naravni logaritem ena je nič:

ln(1) = 0

Ln neskončnosti

Meja naravnega logaritma neskončnosti, ko se x približuje neskončnosti, je enaka neskončnosti:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Kompleksni logaritem

Za kompleksno število z:

z = re^iθ = x + iy

Kompleksni logaritem bo (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf za ln(x)

ln(x) ni definiran za realne nepozitivne vrednosti x:

Tabela naravnih logaritmov

x	v x
0	nedoločeno
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10000	9.210340

 

Pravila logaritmiranja ►

 

---

Poglej tudi

• Logaritem (log)
• Kalkulator naravnega logaritma
• Naravni logaritem nič
• Naravni logaritem ena
• Naravni logaritem e
• Naravni logaritem neskončnosti
• Naravni logaritem negativnega števila
• Ln inverzna funkcija
• ln(x) graf
• Tabela naravnega logaritma
• Logaritemski kalkulator
• e konstanta