Pravidlá logaritmu

Základnýb logaritmus čísla je exponent , ktorý potrebujeme na zvýšenie základu , aby sme dostali číslo.

Definícia logaritmu

Keď sa b umocní na y, rovná sa x:

b y = x

Potom sa základný logaritmus b z x rovná y:

logb(x) = y

Napríklad keď:

24 = 16

Potom

log2(16) = 4

Logaritmus ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Logaritmická funkcia,

y = logb(x)

je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie,

x = by

Ak teda vypočítame exponenciálnu funkciu logaritmu x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Alebo ak vypočítame logaritmus exponenciálnej funkcie x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Prirodzený logaritmus (ln)

Prirodzený logaritmus je logaritmus so základom e:

ln(x) = loge(x)

Keď e konštanta je číslo:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

alebo

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Pozri: Prirodzený logaritmus

Výpočet inverzného logaritmu

Inverzný logaritmus (alebo antilogaritmus) sa vypočíta zvýšením základu b na logaritmus y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmická funkcia

Logaritmická funkcia má základný tvar:

f (x) = logb(x)

Logaritmické pravidlá

Názov pravidla Pravidlo
Logaritmické pravidlo súčinu
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravidlo logaritmického kvocientu
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Pravidlo logaritmickej moci
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmické pravidlo prepínania základne
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravidlo zmeny základne logaritmu
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivácia logaritmu
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Integrál logaritmu
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmus záporného čísla
 log b ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0
Logaritmus 0
 log b (0) nie je definované
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmus 1
 log b (1) = 0
Logaritmus základne
 log b ( b ) = 1
Logaritmus nekonečna
 lim log b ( x ) = ∞, keď x →∞

Pozri: Pravidlá logaritmu

 

Logaritmické pravidlo súčinu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmu x a logaritmu y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Napríklad:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Pravidlo logaritmického kvocientu

Logaritmus delenia x a y je rozdielom logaritmu x a logaritmu y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Napríklad:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Pravidlo logaritmickej moci

Logaritmus x umocnený na y je y krát logaritmus x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Napríklad:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmické pravidlo prepínania základne

Základný logaritmus b z c je 1 delený základným logaritmom c z b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Napríklad:

log2(8) = 1 / log8(2)

Pravidlo zmeny základne logaritmu

Základný logaritmus b z x je základný logaritmus c z x delený základným c logaritmom b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

For example, in order to calculate log2(8) in calculator, we need to change the base to 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

See: log base change rule

Logarithm of negative number

The base b real logarithm of x when x<=0 is undefined when x is negative or equal to zero:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

See: log of negative number

Logarithm of 0

The base b logarithm of zero is undefined:

logb(0) is undefined

The limit of the base b logarithm of x, when x approaches zero, is minus infinity:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

See: log of zero

Logarithm of 1

The base b logarithm of one is zero:

logb(1) = 0

For example, teh base two logarithm of one is zero:

log2(1) = 0

See: log of one

Logarithm of infinity

The limit of the base b logarithm of x, when x approaches infinity, is equal to infinity:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

See: log of infinity

Logarithm of the base

Základný logaritmus b z b je jeden:

logb(b) = 1

Napríklad základný dva logaritmus dvoch je jeden:

log2(2) = 1

Logaritmická derivácia

Kedy

f (x) = logb(x)

Potom derivácia f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Pozri: logaritmická derivácia

Logaritmický integrál

Integrál logaritmu x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Napríklad:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmická aproximácia

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = reiθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmické problémy a odpovede

Problém #1

Nájdite x pre

log2(x) + log2(x-3) = 2

Riešenie:

Použitie pravidla produktu:

log2(x∙(x-3)) = 2

Zmena tvaru logaritmu podľa definície logaritmu:

x∙(x-3) = 22

Alebo

x2-3x-4 = 0

Riešenie kvadratickej rovnice:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Pretože logaritmus nie je definovaný pre záporné čísla, odpoveď je:

x = 4

Problém #2

Nájdite x pre

log3(x+2) - log3(x) = 2

Riešenie:

Pomocou pravidla podielu:

log3((x+2) / x) = 2

Zmena tvaru logaritmu podľa definície logaritmu:

(x+2)/x = 32

Alebo

x+2 = 9x

Alebo

8x = 2

Alebo

x = 0.25

Graf log(x)

log(x) nie je definovaný pre skutočné nekladné hodnoty x:

Tabuľka logaritmov

X log 10 x log 2 x log e x
0 nedefinované nedefinované nedefinované
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13,287712 9,210340

 

Logaritmická kalkulačka ►

 

Pozri tiež

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°