Prirodzený logaritmus - ln(x)

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e čísla.

• Definícia prirodzeného logaritmu (ln).
• Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu (ln).
  • Derivácia prirodzeného logaritmu (ln)
  • Integrál prirodzeného logaritmu (ln)
• Komplexný logaritmus
• Graf ln(x)
• Tabuľka prirodzených logaritmov (ln).
• Kalkulačka prirodzeného logaritmu

Definícia prirodzeného logaritmu

Kedy

e ^y = x

Potom základný e logaritmus x je

ln(x) = log_e(x) = y

 

Konštanta e alebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Funkcia prirodzeného logaritmu ln(x) je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie e ^x .

Pre x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Alebo

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu

Názov pravidla	Pravidlo	Príklad
Produktové pravidlo	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Pravidlo kvocientu	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Pravidlo moci	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln derivát	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
V integrálnom	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln záporného čísla	ln( x ) nie je definované, keď x ≤ 0
ln nula	ln(0) nie je definované
ln z jedného	ln(1) = 0
ln nekonečna	lim ln( x ) = ∞ , keď x →∞
Eulerova identita	ln(-1) = iπ

 

Logaritmické pravidlo súčinu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmu x a logaritmu y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Napríklad:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Pravidlo logaritmického kvocientu

Logaritmus delenia x a y je rozdielom logaritmu x a logaritmu y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Napríklad:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Pravidlo logaritmickej moci

Logaritmus x umocnený na y je y krát logaritmus x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Napríklad:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivácia prirodzeného logaritmu

Deriváciou prirodzenej logaritmickej funkcie je recipročná funkcia.

Kedy

f (x) = ln(x)

Derivácia f(x) je:

f ' (x) = 1 / x

Integrál prirodzeného logaritmu

Integrál funkcie prirodzeného logaritmu je daný vzťahom:

Kedy

f (x) = ln(x)

Integrál f(x) je:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln 0

Prirodzený logaritmus nuly nie je definovaný:

ln(0) is undefined

Limit blízky 0 prirodzeného logaritmu x, keď sa x blíži k nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Prirodzený logaritmus jednotky je nula:

ln(1) = 0

Ln nekonečna

Limit prirodzeného logaritmu nekonečna, keď sa x blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re^iθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf ln(x)

ln(x) nie je definované pre skutočné nekladné hodnoty x:

Tabuľka prirodzených logaritmov

X	ln x
0	nedefinované
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10 000	9,210340

 

Pravidlá logaritmu ►

 

---

Pozri tiež

• logaritmus (log)
• Kalkulačka prirodzeného logaritmu
• Prirodzený logaritmus nuly
• Prirodzený logaritmus jedného
• Prirodzený logaritmus e
• Prirodzený logaritmus nekonečna
• Prirodzený logaritmus záporného čísla
• Inverzná funkcia Ln
• ln(x) graf
• Tabuľka prirodzených logaritmov
• Logaritmická kalkulačka
• e konštantný