Логарифмические правила

Логарифмчисла по основанию b — это показатель степени , в который нам нужно возвести основание , чтобы получить число.

• Определение логарифма
• Логарифмические правила
• Проблемы с логарифмом
• Комплексный логарифм
• График журнала (x)
• Таблица логарифмов
• Калькулятор логарифмов

Определение логарифма

Когда b возводится в степень y, он равен x:

b ^y = x

Тогда логарифм x по основанию b равен y:

log_b(x) = y

Например, когда:

2⁴ = 16

Затем

log₂(16) = 4

Логарифм как обратная функция показательной функции

Логарифмическая функция,

y = log_b(x)

- обратная функция экспоненциальной функции,

x = b^y

Итак, если мы вычислим экспоненциальную функцию логарифма x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Или, если мы вычислим логарифм экспоненциальной функции x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e:

ln(x) = log_e(x)

Когда e константа является числом:

или

 

См.: Натуральный логарифм.

Расчет обратного логарифма

Обратный логарифм (или антилогарифм) вычисляется путем возведения основания b в логарифм y:

x = log^-1(y) = b ^y

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет базовую форму:

f (x) = log_b(x)

Логарифмические правила

Название правила	Правило
Правило логарифмического произведения	журнал b ( x ∙ y ) = журнал b ( x ) + журнал b ( y )
Правило логарифмического отношения	журнал б ( х / у ) = журнал б ( х ) - журнал б ( у )
Правило степени логарифма	журнал б ( Икс у ) знак равно у ∙ журнал б ( Икс )
Правило переключения основания логарифма	журнал б ( с ) = 1 / журнал с ( б )
Правило изменения основания логарифма	журнал b ( x ) = журнал c ( x ) / журнал c ( b )
Производная от логарифма	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Интеграл от логарифма	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Логарифм отрицательного числа	log b ( x ) не определен, когда x ≤ 0
Логарифм 0	log b (0) не определен
Логарифм 1	журнал б (1) = 0
Логарифм основания	журнал б ( б ) = 1
Логарифм бесконечности	lim log b ( x ) = ∞, когда x → ∞

См.: Правила логарифмирования .

 

Правило логарифмического произведения

Логарифм произведения x и y представляет собой сумму логарифма x и логарифма y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Например:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y равен разности логарифма x и логарифма y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Например:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Правило степени логарифма

Логарифм x, возведенный в степень y, равен y, умноженному на логарифм x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Например:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Правило переключения основания логарифма

Логарифм по основанию b числа c равен 1, деленному на логарифм по основанию c числа b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Например:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Правило изменения основания логарифма

Логарифм по основанию b числа x равен логарифму по основанию c числа x, деленному на логарифм по основанию c числа b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Например, чтобы вычислить log ₂ (8) в калькуляторе, нам нужно изменить основание на 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

См.: правило изменения базы логов

Логарифм отрицательного числа

Действительный логарифм x по основанию b, когда x<=0, не определен, когда x отрицателен или равен нулю:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

См.: журнал отрицательного числа

Логарифм 0

Логарифм нуля по основанию b не определен:

log_b(0) is undefined

Предел логарифма по основанию b от x, когда x приближается к нулю, равен минус бесконечности:

См.: журнал нуля

Логарифм 1

Логарифм единицы по основанию b равен нулю:

log_b(1) = 0

Например, логарифм единицы по основанию два равен нулю:

log₂(1) = 0

См.: журнал одного

Логарифм бесконечности

Предел логарифма по основанию b от x, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Смотрите: журнал бесконечности

Логарифм основания

Логарифм по основанию b равен единице:

log_b(b) = 1

Например, логарифм по основанию два равен единице:

log₂(2) = 1

Производная логарифма

Когда

f (x) = log_b(x)

Тогда производная f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

См.: логарифмическая производная

Логарифмический интеграл

Интеграл от логарифма x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Например:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Логарифмическое приближение

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

Комплексный логарифм

Для комплексного числа z:

z = re^iθ = x + iy

Комплексный логарифм будет (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Логарифмические задачи и ответы

Проблема №1

Найдите х для

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

Решение:

Используя правило произведения:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Изменение формы логарифма в соответствии с определением логарифма:

x∙(x-3) = 2²

Или

x²-3x-4 = 0

Решение квадратного уравнения:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Поскольку логарифм не определен для отрицательных чисел, ответ таков:

x = 4

Проблема №2

Найдите х для

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

Решение:

Используя факторное правило:

log₃((x+2) / x) = 2

Изменение формы логарифма в соответствии с определением логарифма:

(x+2)/x = 3²

Или

x+2 = 9x

Или

8x = 2

Или

x = 0.25

График журнала (x)

log(x) не определен для реальных неположительных значений x:

Таблица логарифмов

Икс	войти 10 х	войти 2 х	лог е х
0	неопределенный	неопределенный	неопределенный
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0,0001	-4	-13.287712	-9.210340
0,001	-3	-9,965784	-6,907755
0,01	-2	-6,643856	-4,605170
0,1	-1	-3,321928	-2,302585
1	0	0	0
2	0,301030	1	0,693147
3	0,477121	1.584963	1.098612
4	0,602060	2	1.386294
5	0,698970	2.321928	1.609438
6	0,778151	2,584963	1.791759
7	0,845098	2.807355	1.945910
8	0,903090	3	2.079442
9	0,954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2,995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7,643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5,991465
500	2.698970	8,965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9,643856	6.684612
900	2,954243	9.813781	6.802395
1000	3	9,965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

Калькулятор логарифмов ►

 

---

Смотрите также

• Логарифмические правила
• Логарифмическая замена основания
• Логарифм нуля
• Логарифм одного
• Логарифм бесконечности
• Логарифм отрицательного числа
• Калькулятор логарифмов
• Логарифмический график
• Таблица логарифмов
• Калькулятор натурального логарифма
• Натуральный логарифм - ln x
• постоянная
• Децибел (дБ)