Логарифмическое изменение основного правила

Чтобы изменить основание с b на c, мы можем использовать правило логарифмического изменения основания.Логарифм по основанию b числа x равен логарифму по основанию c числа x, деленному на логарифм по основанию c числа b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Пример №1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

Пример #2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

Доказательство

Возведение b в степень логарифма по основанию b от x дает x:

(1) x = b^logb^(x)

Возведение c в степень основания c логарифма b дает b:

(2) b = c^logc^(b)

Когда мы берем (1) и заменяем b на c ^logc^{( b )} (2), мы получаем:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

Применяя log _c () к обеим сторонам (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

Применяя правило степени логарифма :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

Поскольку log _c ( c )=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

Или

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Логарифм нуля ►

Логарифмическое изменение основного правила