Натуральный логарифм - ln(x)

Натуральный логарифм — это логарифм числа по основанию e.

• Натуральный логарифм (ln) определение
• Натуральный логарифм (ln) правила и свойства
  • Производная натурального логарифма (ln)
  • Интеграл натурального логарифма (ln)
• Комплексный логарифм
• График ln(x)
• Таблица натуральных логарифмов (ln)
• Калькулятор натурального логарифма

Определение натурального логарифма

Когда

e ^y = x

Тогда по основанию e логарифм x равен

ln(x) = log_e(x) = y

 

Константа e или число Эйлера:

е ≈ 2,71828183

Ln как обратная функция экспоненциальной функции

Функция натурального логарифма ln(x) является обратной функцией экспоненциальной функции e ^x .

Для х>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Или

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Правила и свойства натурального логарифма

Название правила	Правило	Пример
Правило продукта	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Частное правило	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Силовое правило	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
производная	ж ( Икс ) = пер ( Икс ) ⇒ ж ' ( Икс ) = 1 / Икс
интеграл	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln отрицательного числа	ln( x ) не определено, когда x ≤ 0
ln нуля	ln(0) не определено
из одного	пер(1) = 0
л бесконечности	lim ln( x ) = ∞ , когда x → ∞
тождество Эйлера	ln(-1) = iπ

 

Правило логарифмического произведения

Логарифм произведения x и y представляет собой сумму логарифма x и логарифма y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Например:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y равен разности логарифма x и логарифма y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Например:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Правило степени логарифма

Логарифм x, возведенный в степень y, равен y, умноженному на логарифм x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Например:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Производная натурального логарифма

Производная функции натурального логарифма является обратной функцией.

Когда

f (x) = ln(x)

Производная f(x):

f ' (x) = 1 / x

Интеграл натурального логарифма

Интеграл функции натурального логарифма определяется как:

Когда

f (x) = ln(x)

Интеграл от f(x):

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln из 0

Натуральный логарифм нуля не определен:

ln(0) is undefined

Предел натурального логарифма x, близкий к 0, когда x приближается к нулю, равен минус бесконечности:

№ 1

Натуральный логарифм единицы равен нулю:

ln(1) = 0

Ln бесконечности

Предел натурального логарифма бесконечности, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Комплексный логарифм

Для комплексного числа z:

z = re^iθ = x + iy

Комплексный логарифм будет (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

График ln(x)

ln(x) не определено для действительных неположительных значений x:

Таблица натуральных логарифмов

Икс	л х
0	неопределенный
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
е ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2,995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Правила логарифмирования ►

 

---

Смотрите также

• Логарифм (логарифм)
• Калькулятор натурального логарифма
• Натуральный логарифм нуля
• Натуральный логарифм единицы
• Натуральный логарифм e
• Натуральный логарифм бесконечности
• Натуральный логарифм отрицательного числа
• Ln обратная функция
• график ln(x)
• Таблица натуральных логарифмов
• Калькулятор логарифмов
• постоянная