Logaritmeregler

Grunntalletb - logaritmen til et tall er eksponenten som vi trenger for å heve grunntallet for å få tallet.

Logaritmedefinisjon

Når b heves til potensen av y er lik x:

b y = x

Da er grunntallet b-logaritmen til x lik y:

logb(x) = y

For eksempel når:

24 = 16

Deretter

log2(16) = 4

Logaritme som invers funksjon av eksponentiell funksjon

Den logaritmiske funksjonen,

y = logb(x)

er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen,

x = by

Så hvis vi beregner eksponentialfunksjonen til logaritmen til x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Eller hvis vi beregner logaritmen til eksponentialfunksjonen til x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Naturlig logaritme (ln)

Naturlig logaritme er en logaritme til basen e:

ln(x) = loge(x)

Når e konstant er tallet:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

eller

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Se: Naturlig logaritme

Invers logaritmeberegning

Den inverse logaritmen (eller antilogaritmen) beregnes ved å heve grunntallet b til logaritmen y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmisk funksjon

Den logaritmiske funksjonen har den grunnleggende formen for:

f (x) = logb(x)

Logaritmeregler

Regelnavn Regel
Logaritmeproduktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmekvotientregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmekraftregel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmebasebryterregel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regel for endring av logaritmebase
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivert av logaritme
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral av logaritme
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritme av negativt tall
 log b ( x ) er udefinert når x ≤ 0
Logaritme av 0
 log b (0) er udefinert
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritme av 1
 log b (1) = 0
Logaritme av basen
 log b ( b ) = 1
Logaritme av uendelig
 lim log b ( x ) = ∞, når x →∞

Se: Logaritmeregler

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen av multiplikasjonen av x og y er summen av logaritmen av x og logaritmen av y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

For eksempel:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen til deling av x og y er forskjellen mellom logaritmen av x og logaritmen til y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

For eksempel:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmekraftregel

Logaritmen til x hevet til potensen y er y ganger logaritmen til x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

For eksempel:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmebasebryterregel

Grunnlaget b logaritmen til c er 1 delt på grunntallet c logaritmen til b.

logb(c) = 1 / logc(b)

For eksempel:

log2(8) = 1 / log8(2)

Regel for endring av logaritmebase

Grunnlaget b-logaritmen til x er basis-c-logaritmen til x dividert med basis-c-logaritmen til b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

For eksempel, for å beregne log 2 (8) i kalkulatoren, må vi endre basen til 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Se: regel for endring av logggrunnlag

Logaritme av negativt tall

Grunntallet b reelle logaritmen til x når x<=0 er udefinert når x er negativ eller lik null:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Se: logg over negativt tall

Logaritme av 0

Grunnlaget b-logaritmen til null er udefinert:

logb(0) is undefined

Grensen for basen b-logaritmen til x, når x nærmer seg null, er minus uendelig:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Se: log av null

Logaritme av 1

Grunnlaget b-logaritmen til en er null:

logb(1) = 0

For eksempel er basis to-logaritmen av én null:

log2(1) = 0

Se: logg over en

Logaritme av uendelig

Grensen for basen b-logaritmen til x, når x nærmer seg uendelig, er lik uendelig:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Se: log of infinity

Logaritme av basen

Grunnlaget b-logaritmen til b er én:

logb(b) = 1

For eksempel er basis to-logaritmen av to én:

log2(2) = 1

Logaritme-deriverte

Når

f (x) = logb(x)

Så den deriverte av f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Se: log-deriverte

Logaritme integral

Integralet av logaritmen til x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

For eksempel:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmetilnærming

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Kompleks logaritme

For komplekst tall z:

z = reiθ = x + iy

Den komplekse logaritmen vil være (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmeproblemer og svar

Problem #1

Finn x for

log2(x) + log2(x-3) = 2

Løsning:

Ved å bruke produktregelen:

log2(x∙(x-3)) = 2

Endre logaritmeformen i henhold til logaritmedefinisjonen:

x∙(x-3) = 22

Eller

x2-3x-4 = 0

Løse den andregradsligningen:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Siden logaritmen ikke er definert for negative tall, er svaret:

x = 4

Problem #2

Finn x for

log3(x+2) - log3(x) = 2

Løsning:

Bruke kvotientregelen:

log3((x+2) / x) = 2

Endre logaritmeformen i henhold til logaritmedefinisjonen:

(x+2)/x = 32

Eller

x+2 = 9x

Eller

8x = 2

Eller

x = 0.25

Graf av logg(x)

log(x) er ikke definert for reelle ikke-positive verdier av x:

Logaritmetabell

x logg 10 x stokk 2 x logg e x
0 udefinert udefinert udefinert
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6.129283 4,248495
80 1,903090 6.321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6.214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13.287712 9,210340

 

Logaritmekalkulator ►

 

Se også

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°