Naturlig logaritme - ln(x)

Naturlig logaritme er logaritmen til grunntallet e av et tall.

• Naturlig logaritme (ln) definisjon
• Naturlig logaritme (ln) regler og egenskaper
  • Derivert av naturlig logaritme (ln)
  • Integral av naturlig logaritme (ln)
• Kompleks logaritme
• Graf av ln(x)
• Tabell for naturlige logaritmer (ln).
• Kalkulator for naturlig logaritme

Definisjon av naturlig logaritme

Når

e ^y = x

Da er grunntallet e-logaritmen til x

ln(x) = log_e(x) = y

 

e-konstanten eller Eulers tall er:

e ≈ 2,71828183

Ln som invers funksjon av eksponentiell funksjon

Den naturlige logaritmefunksjonen ln(x) er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen e ^x .

For x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Eller

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Naturlige logaritmeregler og egenskaper

Regelnavn	Regel	Eksempel
Produktregel	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Kvotientregel	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Maktregel	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln derivat	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
I integral	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln av negativt tall	ln( x ) er udefinert når x ≤ 0
ln av null	ln(0) er udefinert
I av en	ln(1) = 0
I det uendelige	lim ln( x ) = ∞ , når x →∞
Eulers identitet	ln(-1) = iπ

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen av multiplikasjonen av x og y er summen av logaritmen av x og logaritmen av y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

For eksempel:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen til deling av x og y er forskjellen mellom logaritmen av x og logaritmen til y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

For eksempel:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritmekraftregel

Logaritmen til x hevet til potensen y er y ganger logaritmen til x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

For eksempel:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Avledet av naturlig logaritme

Den deriverte av den naturlige logaritmefunksjonen er den resiproke funksjonen.

Når

f (x) = ln(x)

Den deriverte av f(x) er:

f ' (x) = 1 / x

Integral av naturlig logaritme

Integralet til den naturlige logaritmefunksjonen er gitt av:

Når

f (x) = ln(x)

Integralet til f(x) er:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln på 0

Den naturlige logaritmen av null er udefinert:

ln(0) is undefined

Grensen nær 0 for den naturlige logaritmen til x, når x nærmer seg null, er minus uendelig:

Ln av 1

Den naturlige logaritmen til en er null:

ln(1) = 0

Ln av uendelig

Grensen for naturlig logaritme av uendelig, når x nærmer seg uendelig er lik uendelig:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Kompleks logaritme

For komplekst tall z:

z = re^iθ = x + iy

Den komplekse logaritmen vil være (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf av ln(x)

ln(x) er ikke definert for reelle ikke-positive verdier av x:

Tabell for naturlige logaritmer

x	ln x
0	udefinert
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2.197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10 000	9,210340

 

Regler for logaritme ►

 

---

Se også

• Logaritme (log)
• Kalkulator for naturlig logaritme
• Naturlig logaritme av null
• Naturlig logaritme av en
• Naturlig logaritme av e
• Naturlig logaritme av uendelig
• Naturlig logaritme av negativt tall
• Ln invers funksjon
• ln(x) graf
• Naturlig logaritmetabell
• Logaritmekalkulator
• e konstant