Logaritme regels

Delogaritme metgrondtal bvan een getal is deexponent die we nodig hebben om hetgrondtal te verhogen om het getal te krijgen.

Logaritme definitie

Wanneer b wordt verheven tot de macht van y is gelijk aan x:

b y = x

Dan is de logaritme met grondtal b van x gelijk aan y:

logb(x) = y

Bijvoorbeeld wanneer:

24 = 16

Dan

log2(16) = 4

Logaritme als inverse functie van exponentiële functie

De logaritmische functie,

y = logb(x)

is de inverse functie van de exponentiële functie,

x = by

Dus als we de exponentiële functie van de logaritme van x (x>0) berekenen,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Of als we de logaritme van de exponentiële functie van x berekenen,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Natuurlijke logaritme (ln)

Natuurlijke logaritme is een logaritme naar het grondtal e:

ln(x) = loge(x)

Wanneer e constante het getal is:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

of

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\links ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Zie: Natuurlijke logaritme

Inverse logaritme berekening

De inverse logaritme (of anti-logaritme) wordt berekend door het grondtal b te verhogen tot de logaritme y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmische functie

De logaritmische functie heeft de basisvorm van:

f (x) = logb(x)

Logaritme regels

Regel naam Regel
Logaritme productregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritme quotiëntregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritme machtsregel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritme-basisschakelregel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritme basiswijzigingsregel
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Afgeleide van logaritme
 f ( x ) = logboek b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Integraal van logaritme
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritme van negatief getal
 log b ( x ) is ongedefinieerd als x ≤ 0
Logaritme van 0
 log b (0) is ongedefinieerd
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritme van 1
 logboek b (1) = 0
Logaritme van de basis
 logboek b ( b ) = 1
Logaritme van oneindig
 lim log b ( x ) = ∞, wanneer x →∞

Zie: Logaritmeregels

 

Logaritme productregel

De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van de logaritme van x en de logaritme van y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Bijvoorbeeld:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritme quotiëntregel

De logaritme van de deling van x en y is het verschil tussen de logaritme van x en de logaritme van y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Bijvoorbeeld:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritme machtsregel

De logaritme van x verheven tot de macht y is y maal de logaritme van x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Bijvoorbeeld:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritme-basisschakelregel

De logaritme met grondtal b van c is 1 gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Bijvoorbeeld:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritme basiswijzigingsregel

De logaritme met grondtal b van x is de logaritme met grondtal c van x gedeeld door de logaritme met grondtal b van b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Om bijvoorbeeld log 2 (8) in de rekenmachine te berekenen, moeten we de basis wijzigen in 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Zie: wijzigingsregel logboekbasis

Logaritme van negatief getal

De reële logaritme met grondtal b van x wanneer x<=0 is ongedefinieerd wanneer x negatief is of gelijk is aan nul:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Zie: logboek van negatief getal

Logaritme van 0

De logaritme met grondtal b van nul is ongedefinieerd:

logb(0) is undefined

De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Zie: log van nul

Logaritme van 1

De logaritme met grondtal b van één is nul:

logb(1) = 0

De logaritme met grondtal twee van één is bijvoorbeeld nul:

log2(1) = 0

Zie: logboek van een

Logaritme van oneindig

De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Zie: log van oneindigheid

Logaritme van de basis

De logaritme met grondtal b van b is één:

logb(b) = 1

De logaritme met grondtal twee van twee is bijvoorbeeld één:

log2(2) = 1

Logaritme afgeleide

Wanneer

f (x) = logb(x)

Dan is de afgeleide van f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Zie: logafgeleide

Logaritme integraal

De integraal van logaritme van x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Bijvoorbeeld:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritme benadering

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Complexe logaritme

Voor complex getal z:

z = reiθ = x + iy

De complexe logaritme zal zijn (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritme problemen en antwoorden

Probleem #1

Zoek x voor

log2(x) + log2(x-3) = 2

Oplossing:

De productregel gebruiken:

log2(x∙(x-3)) = 2

De logaritmevorm wijzigen volgens de logaritmedefinitie:

x∙(x-3) = 22

Of

x2-3x-4 = 0

De kwadratische vergelijking oplossen:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Aangezien de logaritme niet is gedefinieerd voor negatieve getallen, is het antwoord:

x = 4

Probleem #2

Zoek x voor

log3(x+2) - log3(x) = 2

Oplossing:

De quotiëntregel gebruiken:

log3((x+2) / x) = 2

De logaritmevorm wijzigen volgens de logaritmedefinitie:

(x+2)/x = 32

Of

x+2 = 9x

Of

8x = 2

Of

x = 0.25

Grafiek van log(x)

log(x) is niet gedefinieerd voor reële niet-positieve waarden van x:

Logaritmen tabel

X 10 x loggen log 2x in log e x
0 ongedefinieerd ongedefinieerd ongedefinieerd
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9,965784 -6,907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2,995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8,965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritme rekenmachine ►

 

Zie ook

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°