Natuurlijke logaritme - ln(x)

Natuurlijke logaritme is de logaritme naar het grondtal e van een getal.

• Natuurlijke logaritme (ln) definitie
• Natuurlijke logaritme (ln) regels & eigenschappen
  • Afgeleide van natuurlijke logaritme (ln)
  • Integraal van natuurlijke logaritme (ln)
• Complexe logaritme
• Grafiek van ln(x)
• Natuurlijke logaritmes (ln) tabel
• Natuurlijke logaritme rekenmachine

Definitie van natuurlijke logaritme

Wanneer

e ^y = x

Dan is grondtal e de logaritme van x

ln(x) = log_e(x) = y

 

De constante e of het getal van Euler is:

e ≈ 2,71828183

Ln als inverse functie van exponentiële functie

De natuurlijke logaritmefunctie ln(x) is de inverse functie van de exponentiële functie e ^x .

Voor x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Of

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Regels en eigenschappen voor natuurlijke logaritme

Regel naam	Regel	Voorbeeld
Productregel	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Quotiënt regel	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Machtsregel	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln afgeleide	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integraal	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln van een negatief getal	ln( x ) is ongedefinieerd als x ≤ 0
In nul	ln(0) is ongedefinieerd
In van een	ln(1) = 0
In oneindigheid	lim ln( x ) = ∞ , wanneer x →∞
Eulers identiteit	ln(-1) = iπ

 

Logaritme productregel

De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van de logaritme van x en de logaritme van y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Bijvoorbeeld:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritme quotiëntregel

De logaritme van de deling van x en y is het verschil tussen de logaritme van x en de logaritme van y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Bijvoorbeeld:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritme machtsregel

De logaritme van x verheven tot de macht y is y maal de logaritme van x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Bijvoorbeeld:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Afgeleide van natuurlijke logaritme

De afgeleide van de natuurlijke logaritmefunctie is de reciproke functie.

Wanneer

f (x) = ln(x)

De afgeleide van f(x) is:

f ' (x) = 1 / x

Integraal van natuurlijke logaritme

De integraal van de natuurlijke logaritmefunctie wordt gegeven door:

Wanneer

f (x) = ln(x)

De integraal van f(x) is:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln van 0

De natuurlijke logaritme van nul is ongedefinieerd:

ln(0) is undefined

De limiet nabij 0 van de natuurlijke logaritme van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:

Ln van 1

De natuurlijke logaritme van één is nul:

ln(1) = 0

Ln van oneindig

De limiet van de natuurlijke logaritme van oneindig, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Complexe logaritme

Voor complex getal z:

z = re^iθ = x + iy

De complexe logaritme zal zijn (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Grafiek van ln(x)

ln(x) is niet gedefinieerd voor reële niet-positieve waarden van x:

Tabel met natuurlijke logaritmes

X	In x
0	ongedefinieerd
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0.001	-6,907755
0.01	-4.605170
0.1	-2.302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2,995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Regels van logaritme ►

 

---

Zie ook

• Logaritme (logboek)
• Natuurlijke logaritme rekenmachine
• Natuurlijke logaritme van nul
• Natuurlijke logaritme van één
• Natuurlijke logaritme van e
• Natuurlijke logaritme van oneindig
• Natuurlijke logaritme van negatief getal
• Ln inverse functie
• ln(x) grafiek
• Natuurlijke logaritmetabel
• Logaritme rekenmachine
• e constante