対数の規則
数値の底b対数は、数値を取得するために底を上げる必要がある指数です。
対数の定義
b を y 乗すると x に等しくなります。
b y = x
次に、x の b を底とする対数は y に等しくなります。
logb(x) = y
たとえば、次の場合:
24 = 16
それから
log2(16) = 4
指数関数の逆関数としての対数
対数関数、
y = logb(x)
は指数関数の逆関数、
x = by
したがって、x の対数 (x>0) の指数関数を計算すると、
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
または、x の指数関数の対数を計算すると、
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
自然対数 (ln)
自然対数は底 e の対数です。
ln(x) = loge(x)
e 定数が数値の場合:
また
参照:自然対数
逆対数計算
逆対数 (または逆対数) は、底 b を対数 y に累乗することによって計算されます。
x = log-1(y) = b y
対数関数
対数関数の基本形式は次のとおりです。
f (x) = logb(x)
対数の規則
| ルール名 | ルール |
|---|---|
対数積則 |
ログb ( x ∙ y ) = ログb ( x ) +ログb ( y ) |
対数商則 |
ログb ( x / y ) = ログb ( x ) -ログb ( y ) |
対数べき乗則 |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
対数の底の切り替え規則 |
ログb ( c ) = 1 / ログc ( b ) |
対数の底の変更規則 |
ログb ( x ) = ログc ( x ) / ログc ( b ) |
対数の導関数 |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) ) |
対数の積分 |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C |
負数の対数 |
x ≤ 0の場合、log b ( x )は未定義です。 |
0 の対数 |
ログb (0)は定義されていません |
 |
|
1 の対数 |
ログb (1) = 0 |
底の対数 |
ログb ( b ) = 1 |
無限大の対数 |
lim log b ( x ) = ∞, x →∞のとき |
参照:対数規則
対数積則
x と y の乗算の対数は、x の対数と y の対数の和です。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例えば：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
対数商則
x と y の除算の対数は、x の対数と y の対数の差です。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例えば：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
対数べき乗則
x の対数の y 乗は、x の対数の y 倍です。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例えば：
log10(28) = 8∙ log10(2)
対数の底の切り替え規則
c の b を底とする対数は、1 を b の c を底とする対数で割ったものです。
logb(c) = 1 / logc(b)
例えば：
log2(8) = 1 / log8(2)
対数の底の変更規則
x の b を底とする対数は、x の c を底とする対数を b の c を底とする対数で割ったものです。
logb(x) = logc(x) / logc(b)
たとえば、電卓で log 2 (8) を計算するには、基数を 10 に変更する必要があります。
log2(8) = log10(8) / log10(2)
参照:対数ベース変更ルール
負数の対数
x<=0 のときの x の b を底とする実対数は、x が負またはゼロに等しいときは定義されません。
logb(x) is undefined when x ≤ 0
参照:負数の対数
0 の対数
ゼロを底とする b の対数は定義されていません。
logb(0) is undefined
x が 0 に近づくと、x の b を底とする対数の極限はマイナスの無限大になります。
参照:ゼロの対数
1 の対数
1 を底とする b の対数はゼロです。
logb(1) = 0
たとえば、2 を底とする 1 の対数はゼロです。
log2(1) = 0
参照: 1 つのログ
無限大の対数
x が無限大に近づくと、x の b を底とする対数の極限は無限大に等しくなります。
lim logb(x) = ∞, when x→∞
参照:無限の対数
底の対数
b の b を底とする対数は 1 です。
logb(b) = 1
たとえば、2 の 2 を底とする対数は 1 です。
log2(2) = 1
対数導関数
いつ
f (x) = logb(x)
次に、f(x) の導関数:
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
参照:導関数の対数
対数積分
x の対数の積分:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
例えば：
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
対数近似
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
複素対数
複素数 z の場合:
z = reiθ = x + iy
複素対数は (n = ...-2,-1,0,1,2,...) になります。
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
対数の問題と答え
問題＃1
x を求める
log2(x) + log2(x-3) = 2
解決：
製品ルールの使用:
log2(x∙(x-3)) = 2
対数定義に従って対数形式を変更します。
x∙(x-3) = 22
また
x2-3x-4 = 0
二次方程式を解く:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
対数は負の数に対して定義されていないため、答えは次のようになります。
x = 4
問題＃2
x を求める
log3(x+2) - log3(x) = 2
解決：
商の規則を使用すると、次のようになります。
log3((x+2) / x) = 2
対数定義に従って対数形式を変更します。
(x+2)/x = 32
また
x+2 = 9x
また
8x = 2
また
x = 0.25
log(x)のグラフ
log(x) は、x の非正の実数値に対して定義されていません。
対数表
| バツ | ログ10倍 | ログ2 x | 対数x_ |
|---|---|---|---|
| 0 | 未定義 | 未定義 | 未定義 |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0.001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
| 0.01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
| 0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.301030 | 1 | 0.693147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0.602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0.698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0.903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |