自然対数 - ln(x)
自然対数は、数値の基数 e に対する対数です。
自然対数の定義
いつ
e y = x
x の e を底とする対数は
ln(x) = loge(x) = y
e 定数またはオイラー数は次のとおりです。
e ≒2.71828183
指数関数の逆関数としての Ln
自然対数関数 ln(x) は、指数関数 e xの逆関数です。
x>0 の場合、
f (f -1(x)) = eln(x) = x
また
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
自然対数の規則と性質
| ルール名 | ルール | 例 |
|---|---|---|
商品ルール |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
商則 |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
パワールール |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
微分 |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
積分 |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
負数のln |
x ≤ 0の場合、ln( x )は未定義です。 | |
ゼロの ln |
ln(0)は定義されていません | |
 |
||
1 の ln |
ln(1) = 0 | |
無限のIn |
lim ln( x ) = ∞ ,x →∞のとき | |
| オイラーの正体 | ln(-1) = iπ |
対数積則
x と y の乗算の対数は、x の対数と y の対数の和です。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例えば：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
対数商則
x と y の除算の対数は、x の対数と y の対数の差です。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例えば：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
対数べき乗則
x の対数の y 乗は、x の対数の y 倍です。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例えば：
log10(28) = 8∙ log10(2)
自然対数の導関数
自然対数関数の導関数は逆関数です。
いつ
f (x) = ln(x)
f(x) の導関数は次のとおりです。
f ' (x) = 1 / x
自然対数の積分
自然対数関数の積分は次の式で与えられます。
いつ
f (x) = ln(x)
f(x) の積分は次のとおりです。
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
0 の Ln
ゼロの自然対数は定義されていません。
ln(0) is undefined
x がゼロに近づくとき、x の自然対数の 0 に近い極限はマイナス無限大です。
1 の Ln
1 の自然対数はゼロです。
ln(1) = 0
無限のLn
x が無限大に近づくと、無限大の自然対数の極限は無限大に等しくなります。
lim ln(x) = ∞, when x→∞
複素対数
複素数 z の場合:
z = reiθ = x + iy
複素対数は (n = ...-2,-1,0,1,2,...) になります。
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x)のグラフ
ln(x) は、x の実数の非正の値に対して定義されていません。
自然対数表
| バツ | ln × |
|---|---|
| 0 | 未定義 |
| 0 + | - ∞ |
| 0.0001 | -9.210340 |
| 0.001 | -6.907755 |
| 0.01 | -4.605170 |
| 0.1 | -2.302585 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0.693147 |
| e ≒2.7183 | 1 |
| 3 | 1.098612 |
| 4 | 1.386294 |
| 5 | 1.609438 |
| 6 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3.401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3.912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6.551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |