Regole del logaritmo

Illogaritmo inbase bdi un numero è l'esponente di cui abbiamo bisogno per elevare labase per ottenere il numero.

Definizione di logaritmo

Quando b è elevato alla potenza di y è uguale a x:

b y = x

Allora il logaritmo in base b di x è uguale a y:

logb(x) = y

Ad esempio quando:

24 = 16

Poi

log2(16) = 4

Logaritmo come funzione inversa della funzione esponenziale

La funzione logaritmica,

y = logb(x)

è la funzione inversa della funzione esponenziale,

x = by

Quindi se calcoliamo la funzione esponenziale del logaritmo di x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

O se calcoliamo il logaritmo della funzione esponenziale di x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Logaritmo naturale (ln)

Il logaritmo naturale è un logaritmo in base e:

ln(x) = loge(x)

Quando e costante è il numero:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

O

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\sinistra ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Vedi: logaritmo naturale

Calcolo del logaritmo inverso

Il logaritmo inverso (o antilogaritmo) si calcola elevando la base b al logaritmo y:

x = log-1(y) = b y

Funzione logaritmica

La funzione logaritmica ha la forma base di:

f (x) = logb(x)

Regole del logaritmo

Nome regola Regola
Regola del prodotto logaritmico
 ceppo b ( x ∙ y ) = ceppo b ( x ) + ceppo b ( y )
Regola del quoziente logaritmico
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regola di potenza del logaritmo
 ceppo b ( x y ) = y ∙ ceppo b ( x )
Regola del cambio di base del logaritmo
 ceppo b ( c ) = 1 / ceppo c ( b )
Regola di modifica della base logaritmica
 ceppo b ( x ) = ceppo c ( x ) / ceppo c ( b )
Derivata del logaritmo
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integrale del logaritmo
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritmo del numero negativo
 log b ( x ) non è definito quando x ≤ 0
Logaritmo di 0
 log b (0) non è definito
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmo di 1
 logaritmo b (1) = 0
Logaritmo della base
 logaritmo b ( b ) = 1
Logaritmo dell'infinito
 lim log b ( x ) = ∞, quando x →∞

Vedi: regole del logaritmo

 

Regola del prodotto logaritmico

Il logaritmo della moltiplicazione di x e y è la somma del logaritmo di x e del logaritmo di y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Per esempio:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Regola del quoziente logaritmico

Il logaritmo della divisione di x e y è la differenza tra il logaritmo di x e il logaritmo di y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Per esempio:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Regola di potenza del logaritmo

Il logaritmo di x elevato alla potenza di y è y volte il logaritmo di x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Per esempio:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Regola del cambio di base del logaritmo

Il logaritmo in base b di c è 1 diviso per il logaritmo in base c di b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Per esempio:

log2(8) = 1 / log8(2)

Regola di modifica della base logaritmica

Il logaritmo in base b di x è il logaritmo in base c di x diviso per il logaritmo in base c di b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Ad esempio, per calcolare il log 2 (8) nella calcolatrice, dobbiamo cambiare la base in 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Vedere: regola di modifica della base dei log

Logaritmo del numero negativo

Il logaritmo reale in base b di x quando x<=0 non è definito quando x è negativo o uguale a zero:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Vedi: registro dei numeri negativi

Logaritmo di 0

Il logaritmo in base b di zero non è definito:

logb(0) is undefined

Il limite del logaritmo in base b di x, quando x si avvicina a zero, è meno infinito:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Vedi: logaritmo di zero

Logaritmo di 1

Il logaritmo in base b di uno è zero:

logb(1) = 0

Ad esempio, il logaritmo in base due di uno è zero:

log2(1) = 0

Vedi: registro di uno

Logaritmo dell'infinito

Il limite del logaritmo in base b di x, quando x tende all'infinito, è uguale all'infinito:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Vedi: log dell'infinito

Logaritmo della base

Il logaritmo in base b di b è uno:

logb(b) = 1

Ad esempio, il logaritmo in base due di due è uno:

log2(2) = 1

Derivata logaritmica

Quando

f (x) = logb(x)

Allora la derivata di f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Vedi: derivata logaritmica

Integrale logaritmico

L'integrale del logaritmo di x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Per esempio:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Approssimazione logaritmica

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Logaritmo complesso

Per il numero complesso z:

z = reiθ = x + iy

Il logaritmo complesso sarà (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Problemi di logaritmo e risposte

Problema n. 1

Trova x per

log2(x) + log2(x-3) = 2

Soluzione:

Usando la regola del prodotto:

log2(x∙(x-3)) = 2

Modifica della forma del logaritmo secondo la definizione del logaritmo:

x∙(x-3) = 22

O

x2-3x-4 = 0

Risolvere l'equazione quadratica:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Poiché il logaritmo non è definito per i numeri negativi, la risposta è:

x = 4

Problema n. 2

Trova x per

log3(x+2) - log3(x) = 2

Soluzione:

Usando la regola del quoziente:

log3((x+2) / x) = 2

Modifica della forma del logaritmo secondo la definizione del logaritmo:

(x+2)/x = 32

O

x+2 = 9x

O

8x = 2

O

x = 0.25

Grafico di log(x)

log(x) non è definito per valori reali non positivi di x:

Tavola dei logaritmi

X registro 10 x registro 2 x log e x
0 non definito non definito non definito
0+ _ -∞ -∞ -∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0,693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calcolatrice logaritmica ►

 

Guarda anche

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°