Logaritmo naturale - ln(x)

Il logaritmo naturale è il logaritmo in base e di un numero.

• Definizione di logaritmo naturale (ln).
• Regole e proprietà del logaritmo naturale (ln).
  • Derivata del logaritmo naturale (ln)
  • Integrale del logaritmo naturale (ln)
• Logaritmo complesso
• Grafico di ln(x)
• Tabella dei logaritmi naturali (ln).
• Calcolatore del logaritmo naturale

Definizione di logaritmo naturale

Quando

e ^y = x

Quindi base e logaritmo di x è

ln(x) = log_e(x) = y

 

La costante e o il numero di Eulero è:

e ≈ 2,71828183

Ln come funzione inversa della funzione esponenziale

La funzione del logaritmo naturale ln(x) è la funzione inversa della funzione esponenziale e ^x .

Per x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

O

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Regole e proprietà del logaritmo naturale

Nome regola	Regola	Esempio
Regola del prodotto	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Regola del quoziente	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Regola di potere	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
In derivato	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
ln integrale	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln di numero negativo	ln( x ) non è definito quando x ≤ 0
ln di zero	ln(0) non è definito
ln di uno	ln(1) = 0
ln dell'infinito	lim ln( x ) = ∞ , quando x →∞
Identità di Eulero	ln(-1) = iπ

 

Regola del prodotto logaritmico

Il logaritmo della moltiplicazione di x e y è la somma del logaritmo di x e del logaritmo di y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Per esempio:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Regola del quoziente logaritmico

Il logaritmo della divisione di x e y è la differenza tra il logaritmo di x e il logaritmo di y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Per esempio:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Regola di potenza del logaritmo

Il logaritmo di x elevato alla potenza di y è y volte il logaritmo di x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Per esempio:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivata del logaritmo naturale

La derivata della funzione logaritmo naturale è la funzione reciproca.

Quando

f (x) = ln(x)

La derivata di f(x) è:

f ' (x) = 1 / x

Integrale del logaritmo naturale

L'integrale della funzione logaritmo naturale è dato da:

Quando

f (x) = ln(x)

L'integrale di f(x) è:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln di 0

Il logaritmo naturale di zero è indefinito:

ln(0) is undefined

Il limite vicino allo 0 del logaritmo naturale di x, quando x si avvicina allo zero, è meno infinito:

Ln di 1

Il logaritmo naturale di uno è zero:

ln(1) = 0

Ln dell'infinito

Il limite del logaritmo naturale dell'infinito, quando x tende all'infinito è uguale all'infinito:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Logaritmo complesso

Per il numero complesso z:

z = re^iθ = x + iy

Il logaritmo complesso sarà (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Grafico di ln(x)

ln(x) non è definito per valori reali non positivi di x:

Tavola dei logaritmi naturali

X	ln x
0	non definito
0+ _	-∞
0.0001	-9.210340
0,001	-6.907755
0.01	-4.605170
0.1	-2.302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Regole del logaritmo ►

 

---

Guarda anche

• Logaritmo (log)
• Calcolatore del logaritmo naturale
• Logaritmo naturale di zero
• Logaritmo naturale di uno
• Logaritmo naturale di e
• Logaritmo naturale dell'infinito
• Logaritmo naturale del numero negativo
• Ln funzione inversa
• grafico ln(x).
• Tavola dei logaritmi naturali
• Calcolatrice logaritmica
• e costante