Pravila logaritma

Logaritam s bazom b broja je eksponent na koji trebamo podići bazu da bismo dobili broj.

Definicija logaritma

Kada se b podigne na potenciju y jednako je x:

b y = x

Tada je osnovni b logaritam od x jednak y:

logb(x) = y

Na primjer kada:

24 = 16

Zatim

log2(16) = 4

Logaritam kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije

Logaritamska funkcija,

y = logb(x)

je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije,

x = by

Dakle, ako izračunamo eksponencijalnu funkciju logaritma od x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Ili ako izračunamo logaritam eksponencijalne funkcije od x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Prirodni logaritam (ln)

Prirodni logaritam je logaritam s bazom e:

ln(x) = loge(x)

Kada je e konstanta broj:

e=\lim_{x\desna strelica \infty }\lijevo ( 1+\frac{1}{x} \desno )^x = 2,718281828459...

ili

e=\lim_{x\desna strelica 0 }\lijevo ( 1+ \desno x)^\frac{1}{x}

 

Vidi: Prirodni logaritam

Računanje obrnutog logaritma

Inverzni logaritam (ili antilogaritam) izračunava se podizanjem baze b na logaritam y:

x = log-1(y) = b y

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija ima osnovni oblik:

f (x) = logb(x)

Pravila logaritma

Naziv pravila Pravilo
Pravilo logaritamskog umnoška
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravilo logaritamskog kvocijenta
 log b ( x/y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Pravilo logaritamske snage
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Pravilo promjene baze logaritma
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravilo promjene baze logaritma
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivacija logaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Integral logaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritam negativnog broja
 log b ( x ) je nedefiniran kada je x ≤ 0
Logaritam od 0
 log b (0) je nedefiniran
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritam od 1
 log b (1) = 0
Logaritam baze
 log b ( b ) = 1
Logaritam beskonačnosti
 lim log b ( x ) = ∞, kada je x →∞

Vidi: Pravila logaritma

 

Pravilo logaritamskog umnoška

Logaritam množenja x i y je zbroj logaritma od x i logaritma od y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Na primjer:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Pravilo logaritamskog kvocijenta

Logaritam dijeljenja x i y je razlika logaritma od x i logaritma od y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Na primjer:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Pravilo logaritamske snage

Logaritam od x podignut na potenciju od y je y puta logaritam od x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Na primjer:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Pravilo promjene baze logaritma

Logaritam baze b od c je 1 podijeljen s logaritmom baze c od b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Na primjer:

log2(8) = 1 / log8(2)

Pravilo promjene baze logaritma

Logaritam baze b od x je logaritam baze c od x podijeljen s logaritmom baze c od b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Na primjer, da bismo izračunali log 2 (8) u kalkulatoru, moramo promijeniti bazu na 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Vidi: pravilo promjene baze dnevnika

Logaritam negativnog broja

Realni logaritam baze b od x kada je x<=0 nije definiran kada je x negativan ili jednak nuli:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Vidi: dnevnik negativnog broja

Logaritam od 0

Osnovni b logaritam nule je nedefiniran:

logb(0) is undefined

Granica logaritma baze b od x, kada se x približava nuli, je minus beskonačnost:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Vidi: log of zero

Logaritam od 1

Osnovni b logaritam od jedan je nula:

logb(1) = 0

Na primjer, logaritam baze dva od jedan je nula:

log2(1) = 0

Vidi: log of one

Logaritam beskonačnosti

Granica logaritma baze b od x, kada se x približava beskonačnosti, jednaka je beskonačnosti:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Vidi: log beskraja

Logaritam baze

Osnovni b logaritam od b je jedan:

logb(b) = 1

Na primjer, logaritam s bazom dva od dva je jedan:

log2(2) = 1

Logaritamska derivacija

Kada

f (x) = logb(x)

Tada je izvod od f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Vidi: log derivat

Logaritamski integral

Integral logaritma od x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Na primjer:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritamska aproksimacija

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Složeni logaritam

Za kompleksni broj z:

z = reiθ = x + iy

Kompleksni logaritam bit će (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmski zadaci i odgovori

Problem #1

Pronađite x za

log2(x) + log2(x-3) = 2

Riješenje:

Korištenje pravila proizvoda:

log2(x∙(x-3)) = 2

Promjena oblika logaritma prema definiciji logaritma:

x∙(x-3) = 22

Ili

x2-3x-4 = 0

Rješavanje kvadratne jednadžbe:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Budući da logaritam nije definiran za negativne brojeve, odgovor je:

x = 4

Problem #2

Pronađite x za

log3(x+2) - log3(x) = 2

Riješenje:

Korištenje pravila kvocijenta:

log3((x+2) / x) = 2

Promjena oblika logaritma prema definiciji logaritma:

(x+2)/x = 32

Ili

x+2 = 9x

Ili

8x = 2

Ili

x = 0.25

Graf log(x)

log(x) nije definiran za stvarne nepozitivne vrijednosti x:

Tablica logaritama

x trupac 10 x trupac 2 x log e x
0 nedefiniran nedefiniran nedefiniran
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2.321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4.321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5.321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4,499810
100 2 6.643856 4,605170
200 2.301030 7,643856 5.298317
300 2,477121 8.228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6.214608
600 2,778151 9.228819 6.396930
700 2,845098 9.451211 6.551080
800 2,903090 9,643856 6.684612
900 2,954243 9.813781 6.802395
1000 3 9,965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritamski kalkulator ►

 

Vidi također

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°