Prirodni logaritam - ln(x)

Prirodni logaritam je logaritam na bazi e broja.

• Definicija prirodnog logaritma (ln).
• Pravila i svojstva prirodnog logaritma (ln).
  • Derivacija prirodnog logaritma (ln)
  • Integral prirodnog logaritma (ln)
• Složeni logaritam
• Graf od ln(x)
• Tablica prirodnih logaritama (ln).
• Kalkulator prirodnog logaritma

Definicija prirodnog logaritma

Kada

e ^y = x

Tada je baza e logaritam od x

ln(x) = log_e(x) = y

 

Konstanta e ili Eulerov broj je :

e ≈ 2,71828183

Ln kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije

Funkcija prirodnog logaritma ln(x) je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije e ^x .

Za x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Ili

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Pravila i svojstva prirodnog logaritma

Naziv pravila	Pravilo	Primjer
Pravilo proizvoda	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Pravilo kvocijenta	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Pravilo moći	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
U izvedenici	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
U integralu	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
Od negativnog broja	ln( x ) je nedefiniran kada je x ≤ 0
Od nule	ln(0) je nedefiniran
U jednoj	ln(1) = 0
U beskraju	lim ln( x ) = ∞ , kada je x →∞
Eulerov identitet	ln(-1) = iπ

 

Pravilo logaritamskog umnoška

Logaritam množenja x i y je zbroj logaritma od x i logaritma od y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Na primjer:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Pravilo logaritamskog kvocijenta

Logaritam dijeljenja x i y je razlika logaritma od x i logaritma od y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Na primjer:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Pravilo logaritamske snage

Logaritam od x podignut na potenciju od y je y puta logaritam od x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Na primjer:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivacija prirodnog logaritma

Derivacija funkcije prirodnog logaritma je recipročna funkcija.

Kada

f (x) = ln(x)

Derivacija f(x) je:

f ' (x) = 1 / x

Integral prirodnog logaritma

Integral funkcije prirodnog logaritma dan je na sljedeći način:

Kada

f (x) = ln(x)

Integral od f(x) je:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln od 0

Prirodni logaritam nule je nedefiniran:

ln(0) is undefined

Granica blizu 0 prirodnog logaritma od x, kada se x približava nuli, je minus beskonačnost:

Ln od 1

Prirodni logaritam od jedan je nula:

ln(1) = 0

Ln beskonačnosti

Granica prirodnog logaritma beskonačnosti, kada se x približava beskonačnosti, jednaka je beskonačnosti:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Složeni logaritam

Za kompleksni broj z:

z = re^iθ = x + iy

Kompleksni logaritam bit će (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf od ln(x)

ln(x) nije definiran za stvarne nepozitivne vrijednosti x:

Tablica prirodnih logaritama

x	u x
0	nedefiniran
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2.197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5.298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Pravila logaritmiranja ►

 

---

Vidi također

• Logaritam (log)
• Kalkulator prirodnog logaritma
• Prirodni logaritam nule
• Prirodni logaritam od jedan
• Prirodni logaritam od e
• Prirodni logaritam beskonačnosti
• Prirodni logaritam negativnog broja
• Ln inverzna funkcija
• ln(x) graf
• Tablica prirodnog logaritma
• Logaritamski kalkulator
• e konstanta