כללי לוגריתם

לוגריתם הבסיס b של מספר הוא המעריך שאנו צריכים להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר.

• הגדרת לוגריתם
• חוקי לוגריתם
• בעיות לוגריתם
• לוגריתם מורכב
• גרף של יומן (x)
• טבלת לוגריתמים
• מחשבון לוגריתם

הגדרת לוגריתם

כאשר b מועלה בחזקת y שווה x:

b ^y = x

אז הלוגריתם הבסיס b של x שווה ל-y:

log_b(x) = y

למשל כאשר:

2⁴ = 16

לאחר מכן

log₂(16) = 4

לוגריתם כפונקציה הפוכה של פונקציה אקספוננציאלית

הפונקציה הלוגריתמית,

y = log_b(x)

היא הפונקציה ההפוכה של הפונקציה המעריכית,

x = b^y

אז אם נחשב את הפונקציה המעריכית של הלוגריתם של x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

או אם נחשב את הלוגריתם של הפונקציה המעריכית של x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

לוגריתם טבעי (ln)

לוגריתם טבעי הוא לוגריתם לבסיס e:

ln(x) = log_e(x)

כאשר קבוע e הוא המספר:

אוֹ

 

ראה: לוגריתם טבעי

חישוב לוגריתם הפוך

הלוגריתם ההפוך (או האנטי לוגריתם) מחושב על ידי העלאת הבסיס b ללוגריתם y:

x = log^-1(y) = b ^y

פונקציה לוגריתמית

לפונקציה הלוגריתמית יש את הצורה הבסיסית של:

f (x) = log_b(x)

חוקי לוגריתם

שם החוק	כְּלָל
כלל תוצר לוגריתם	log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
כלל מנה לוגריתם	log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
כלל כוח לוגריתם	log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
כלל מתג בסיס לוגריתם	log b ( c ) = 1 / log c ( b )
כלל שינוי בסיס לוגריתם	log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
נגזרת של לוגריתם	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
אינטגרל של לוגריתם	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
לוגריתם של מספר שלילי	log b ( x ) אינו מוגדר כאשר x ≤ 0
לוגריתם של 0	log b (0) אינו מוגדר
לוגריתם של 1	log b (1) = 0
לוגריתם של הבסיס	log b ( b ) = 1
לוגריתם של אינסוף	lim log b ( x ) = ∞, כאשר x →∞

ראה: חוקי לוגריתם

 

כלל תוצר לוגריתם

הלוגריתם של הכפל של x ו-y הוא סכום הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

לדוגמה:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

כלל מנה לוגריתם

הלוגריתם של החלוקה של x ו-y הוא ההבדל בין הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

לדוגמה:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

כלל כוח לוגריתם

הלוגריתם של x מועלה בחזקת y הוא y כפול הלוגריתם של x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

לדוגמה:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

כלל מתג בסיס לוגריתם

לוגריתם הבסיס b של c הוא 1 חלקי לוגריתם הבסיס c של b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

לדוגמה:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

כלל שינוי בסיס לוגריתם

הלוגריתם הבסיסי b של x הוא לוגריתם הבסיס c של x חלקי בלוגריתם הבסיס c של b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

לדוגמה, כדי לחשב יומן ₂ (8) במחשבון, עלינו לשנות את הבסיס ל-10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

ראה: כלל שינוי בסיס יומן

לוגריתם של מספר שלילי

הבסיס b הלוגריתם האמיתי של x כאשר x<=0 אינו מוגדר כאשר x הוא שלילי או שווה לאפס:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

ראה: יומן של מספר שלילי

לוגריתם של 0

לוגריתם הבסיס b של אפס אינו מוגדר:

log_b(0) is undefined

הגבול של לוגריתם הבסיס b של x, כאשר x מתקרב לאפס, הוא מינוס אינסוף:

ראה: יומן של אפס

לוגריתם של 1

לוגריתם הבסיס b של אחד הוא אפס:

log_b(1) = 0

לדוגמה, הלוגריתם של בסיס שני של אחד הוא אפס:

log₂(1) = 0

ראה: יומן אחד

לוגריתם של אינסוף

הגבול של לוגריתם הבסיס b של x, כאשר x מתקרב לאינסוף, שווה לאינסוף:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

ראה: יומן של אינסוף

לוגריתם של הבסיס

לוגריתם הבסיס b של b הוא אחד:

log_b(b) = 1

לדוגמה, הלוגריתם של בסיס שתיים של שניים הוא אחד:

log₂(2) = 1

נגזרת לוגריתמית

מתי

f (x) = log_b(x)

ואז הנגזרת של f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

ראה: נגזרת יומן

אינטגרל לוגריתם

האינטגרל של הלוגריתם של x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

לדוגמה:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

קירוב לוגריתמי

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

לוגריתם מורכב

עבור מספר מרוכב z:

z = re^iθ = x + iy

הלוגריתם המורכב יהיה (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

בעיות לוגריתם ותשובות

בעיה מס' 1

מצא x עבור

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

פִּתָרוֹן:

שימוש בכלל המוצר:

log₂(x∙(x-3)) = 2

שינוי צורת הלוגריתם לפי הגדרת הלוגריתם:

x∙(x-3) = 2²

אוֹ

x²-3x-4 = 0

פתרון המשוואה הריבועית:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

מכיוון שהלוגריתם אינו מוגדר למספרים שליליים, התשובה היא:

x = 4

בעיה מס' 2

מצא x עבור

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

פִּתָרוֹן:

באמצעות כלל המנה:

log₃((x+2) / x) = 2

שינוי צורת הלוגריתם לפי הגדרת הלוגריתם:

(x+2)/x = 3²

אוֹ

x+2 = 9x

אוֹ

8x = 2

אוֹ

x = 0.25

גרף של יומן (x)

log(x) אינו מוגדר עבור ערכים אמיתיים לא חיוביים של x:

טבלת לוגריתמים

איקס	יומן 10 x	יומן 2 x	log e x
0	לא מוגדר	לא מוגדר	לא מוגדר
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

מחשבון לוגריתם ◄

 

---

ראה גם

• חוקי לוגריתם
• שינוי לוגריתם של בסיס
• לוגריתם של אפס
• לוגריתם של אחד
• לוגריתם של אינסוף
• לוגריתם של מספר שלילי
• מחשבון לוגריתם
• גרף לוגריתם
• טבלת לוגריתמים
• מחשבון לוגריתם טבעי
• לוגריתם טבעי - ln x
• קבוע e
• דציבל (dB)