לוגריתם טבעי - ln(x)

לוגריתם טבעי הוא הלוגריתם לבסיס e של מספר.

• הגדרת לוגריתם טבעי (ln).
• חוקים ומאפיינים של לוגריתם טבעי (ln).
  • נגזרת של לוגריתם טבעי (ln)
  • אינטגרל של לוגריתם טבעי (ln)
• לוגריתם מורכב
• גרף של ln(x)
• טבלת לוגריתמים טבעיים (ln).
• מחשבון לוגריתם טבעי

הגדרה של לוגריתם טבעי

מתי

e ^y = x

אז בסיס e לוגריתם של x הוא

ln(x) = log_e(x) = y

 

הקבוע e או מספר אוילר הוא:

e ≈ 2.71828183

Ln כפונקציה הפוכה של פונקציה אקספוננציאלית

פונקציית הלוגריתם הטבעית ln(x) היא הפונקציה ההפוכה של הפונקציה המעריכית e ^x .

עבור x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

אוֹ

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

חוקי לוגריתם טבעיים ומאפיינים

שם החוק	כְּלָל	דוגמא
חוק מוצר	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
כלל כמות	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
שלטון כוח	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
בנגזרת	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
באינטגרל	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln של מספר שלילי	ln( x ) אינו מוגדר כאשר x ≤ 0
אין של אפס	ln(0) אינו מוגדר
באחד	ln(1) = 0
באין סוף	lim ln( x ) = ∞ , כאשר x →∞
זהותו של אוילר	ln(-1) = iπ

 

כלל תוצר לוגריתם

הלוגריתם של הכפל של x ו-y הוא סכום הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

לדוגמה:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

כלל מנה לוגריתם

הלוגריתם של החלוקה של x ו-y הוא ההבדל בין הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

לדוגמה:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

כלל כוח לוגריתם

הלוגריתם של x מועלה בחזקת y הוא y כפול הלוגריתם של x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

לדוגמה:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

נגזרת של לוגריתם טבעי

הנגזרת של פונקציית הלוגריתם הטבעית היא הפונקציה ההדדית.

מתי

f (x) = ln(x)

הנגזרת של f(x) היא:

f ' (x) = 1 / x

אינטגרל של לוגריתם טבעי

האינטגרל של פונקציית הלוגריתם הטבעי ניתן על ידי:

מתי

f (x) = ln(x)

האינטגרל של f(x) הוא:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln של 0

הלוגריתם הטבעי של אפס אינו מוגדר:

ln(0) is undefined

הגבול ליד 0 של הלוגריתם הטבעי של x, כאשר x מתקרב לאפס, הוא מינוס אינסוף:

Ln של 1

הלוגריתם הטבעי של אחד הוא אפס:

ln(1) = 0

Ln של אינסוף

הגבול של הלוגריתם הטבעי של האינסוף, כאשר x מתקרב לאינסוף שווה לאינסוף:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

לוגריתם מורכב

עבור מספר מרוכב z:

z = re^iθ = x + iy

הלוגריתם המורכב יהיה (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

גרף של ln(x)

ln(x) אינו מוגדר עבור ערכים לא חיוביים אמיתיים של x:

טבלת לוגריתמים טבעיים

איקס	ln x
0	לא מוגדר
0 +	- ∞
0.0001	-9.210340
0.001	-6.907755
0.01	-4.605170
0.1	-2.302585
1	0
2	0.693147
e ≈ 2.7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

כללי לוגריתם ◄

 

---

ראה גם

• לוגריתם (לוג)
• מחשבון לוגריתם טבעי
• לוגריתם טבעי של אפס
• לוגריתם טבעי של אחד
• לוגריתם טבעי של e
• לוגריתם טבעי של אינסוף
• לוגריתם טבעי של מספר שלילי
• Ln פונקציה הפוכה
• גרף ln(x).
• טבלת לוגריתמים טבעית
• מחשבון לוגריתם
• קבוע e