כללים ומאפיינים לוגריתמים

חוקי לוגריתם ומאפיינים:

 

שם החוק	כְּלָל
כלל תוצר לוגריתם	logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
כלל מנה לוגריתם	logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
כלל כוח לוגריתם	logb(x y) = y ∙ logb(x)
כלל מתג בסיס לוגריתם	logb(c) = 1 / logc(b)
כלל שינוי בסיס לוגריתם	logb(x) = logc(x) / logc(b)
נגזרת של לוגריתם	f (x) = logb(x) ⇒ f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
אינטגרל של לוגריתם	∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
לוגריתם של 0	logb(0) is undefined
לוגריתם של 1	logb(1) = 0
לוגריתם של הבסיס	logb(b) = 1
לוגריתם של אינסוף	lim logb(x) = ∞, when x→∞

כלל תוצר לוגריתם

הלוגריתם של הכפל של x ו-y הוא סכום הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

לדוגמה:

log_b(3 ∙ 7) = log_b(3) + log_b(7)

ניתן להשתמש בכלל המכפלה לחישוב כפל מהיר באמצעות פעולת חיבור.

המכפלה של x כפול y הוא הלוגריתם ההפוך של הסכום של log _b ( x ) ו- log _b ( y ):

x ∙ y = log^-1(log_b(x) + log_b(y))

כלל מנה לוגריתם

הלוגריתם של חלוקה של x ו-y הוא ההבדל בין הלוגריתם של x ללוגריתם של y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

לדוגמה:

log_b(3 / 7) = log_b(3) - log_b(7)

ניתן להשתמש בכלל המנה לחישוב חלוקה מהירה באמצעות פעולת חיסור.

המנה של x חלקי y היא הלוגריתם ההפוך של החיסור של log _b ( x ) ו- log _b ( y ):

x / y = log^-1(log_b(x) - log_b(y))

כלל כוח לוגריתם

הלוגריתם של המעריך של x המועלה בחזקת y, הוא y כפול הלוגריתם של x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

לדוגמה:

log_b(2⁸) = 8 ∙ log_b(2)

ניתן להשתמש בכלל החזקה לחישוב מעריך מהיר באמצעות פעולת הכפל.

המעריך של x מועלה בחזקת y שווה ללוגריתם ההפוך של הכפל של y ו-log _b ( x ):

x ^y = log^-1(y ∙ log_b(x))

מתג בסיס לוגריתם

לוגריתם הבסיס b של c הוא 1 חלקי לוגריתם הבסיס c של b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

לדוגמה:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

שינוי בסיס לוגריתם

הלוגריתם הבסיסי b של x הוא לוגריתם הבסיס c של x חלקי הלוגריתם הבסיסי c של b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

לוגריתם של 0

לוגריתם הבסיס b של אפס אינו מוגדר:

log_b(0) is undefined

הגבול ליד 0 הוא מינוס אינסוף:

לוגריתם של 1

לוגריתם הבסיס b של אחד הוא אפס:

log_b(1) = 0

לדוגמה:

log₂(1) = 0

לוגריתם של הבסיס

הלוגריתם הבסיסי b של b הוא אחד:

log_b(b) = 1

לדוגמה:

log₂(2) = 1

נגזרת לוגריתמית

מתי

f (x) = log_b(x)

ואז הנגזרת של f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

לדוגמה:

מתי

f (x) = log₂(x)

ואז הנגזרת של f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(2) )

אינטגרל לוגריתם

האינטגרל של הלוגריתם של x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

לדוגמה:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

קירוב לוגריתמי

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

 

לוגריתם של אפס ◄

 

---

ראה גם

• מחשבון לוגריתם
• מהו לוגריתם?
• גרף log(x).
• מחשבון לוגריתם טבעי
• לוגריתם טבעי
• קבוע e
• דציבל (dB)